Dans ce paragraphe, nous allons donner quelques applications du calcul intégral.
Calcul d’aires
Le théorème suivant permet d’utiliser le calcul intégral pour calculer des aires planes.
Le plan $P$ est rapporté à un repère orthonormé $(0,\vec{i},\vec{j})$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a,b]$ (avec $a \lt b$) vérifiant, pour tout $x\in [a,b]$, $g(x)\le f(x)$.
L’aire de la partie du plan limitée par les courbes de $f$ et de $g$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$, c’est-à-dire $E=\left\{M(x,y)\in P\;\middle\vert\;a\le x\le b,\;g(x)\le y\le f(x) \right\}$ est donnée par la formule :\[\mathrm{aire}(E)=\int_a^b{\bigl(f(x)-g(x)\bigr)}\;\mathrm{d}x.\]
Admis.
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x)=-x^2+2$ et $g(x)=x^2-2x-2$.
Soit $C_f$ et $C_g$ leurs courbes représentatives dans un plan $P$ un plan muni d’un repère orthonormé $(0,\vec{i},\vec{j})$.
Calculer l’aire du domaine délimité par $C_f$, $C_g$ et les droites d’équations $x=-1$ et $x=1$.
On a :\[g(x)-\ f(x)=2{x^2}-2x-4=2(x+1)(x-2).\]Donc pour tout $x\in [-1,2]$, $f(x)\le g(x)$.
D’après le théorème précédent, l’aire recherchée peut être calculée par la formule :\[\int_{-1}^2{\bigl(g(x)-f(x) \bigr)}\;\mathrm{d}x=\int_{-1}^2{(2{x^2}-2x-4)}\;\mathrm{d}x=\left[\frac{2}{3}{x^3}-{x^2}-4x \right]_{-1}^2=9\]
L’aire est donnée dans le système d’unités choisi ; par exemple si $\left\| {\vec{i}} \right\|=3\;\mathrm{cm}$ et $\left\|\vec{j}\right\|=2\;\mathrm{cm}$ alors l’unité d’aire est $3\times 2=6\;\mathrm{cm}^2$.
L’unité d’aire est notée en abrégé u.a.
Dans notre exemple $1\;\mathrm{u.a}=3\times 2=6\;\mathrm{cm}^2$.
Calcul de volumes simples
Le théorème suivant permet d’utiliser le calcul intégral pour calculer certains volumes.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(0,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.
Soit $(\Sigma)$ le solide délimité par les plans parallèles d’équation $z=a$ et $z=b$ et $V$ son volume.
Si pour tout $t\in [a,b]$, l’intersection de $(\Sigma)$ avec le plan d’équation $z=t$ possède une aire $S(t)$ où $S$ est une fonction continue sur $[a,b]$, alors le volume $V$ du solide est donné par la formule :\[V(\Sigma)=\int_a^b{S(t)\;\mathrm{d}t}.\]
Admis.
Voyons deux exemples d’application de cette formule.
Soit $B$ une boule de centre $O$ (origine du repère) et de rayon $R$.
Pour tout $t\in \left[-R,R \right]$, l’intersection de $B$ avec le plan d’équation $z=t$ est un disque de rayon $\sqrt{R^2-t^2}$.Cette intersection possède une aire $S(t)=\pi \left(R^2-t^2\right)$, $S$ est une fonction continue sur $[-R,R]$.
On peut donc appliquer le théorème précédent et on obtient alors :\[V(B)=\int_{-R}^R{\pi \left({R^2}-{t^2} \right)}\;\mathrm{d}t=\pi \left[{R^2}t-\frac{t^3}{3} \right]_{-R}^R=\frac{4}{3}\pi {R^3}.\]
Faisons tourner autour de l’axe des ordonnées la partie de la parabole d’équation $y={x^2},\ 0\le x\le 2$. Nous obtenons un solide $(\Sigma)$ (dit de révolution) dont nous allons calculer le volume.
Le solide $(\Sigma)$ est délimité par les plans parallèles d’équation $y=0$ et $y=4$.Son intersection avec le plan d’équation $y=t$ est un disque de rayon $r$ tel que $t=r^2$.Cette intersection possède une aire $S(t)=\pi r^2=\pi t$, $S$ est une fonction continue sur $[0,2]$.On peut donc appliquer le théorème précédent pour calculer le volume de $(\Sigma)$.On obtient alors :\[V(\Sigma)=\int_0^4{\pi t}\;\mathrm{d}t=\pi \left[\frac{t^2}{2} \right]_0^4=\frac{16\pi}2=8\pi.\]