Objectifs
Les probabilités interviennent dans toutes les situations où existe une forme d’incertitude sur la réalisation d’un événement. Pour quantifier le degré d’incertitude, on va attribuer à cet événement un nombre (probabilité) qui mesurera le degré de confiance en sa réalisation. Au vu de la complexité des situations à traiter, plusieurs événements doivent être considérés et analysés. La théorie des probabilités est un cadre mathématique qui propose des règles de calculs garantissant une cohérence dans la manipulation des mesures de confiance associées à ces événements.
Une situation toujours d’actualité : les jeux de hasard. Mais on retrouve ce besoin de quantification de l’incertitude dans différents domaines de l’ingénierie comme
- la métrologie ;
- l’évaluation de risques industriels, médicaux, sanitaires, environnementaux, bancaires, commerciaux, etc ;
- le contrôle de systèmes.
Pré-requis
Pour l’ensemble fini $\Omega=\left\{w_1,w_2,\ldots,w_N\right\}$ :
- Le nombre de permutations des $N$ objets est : $N!:=N\times (N-1)\cdots 2\times 1$
- Plus généralement, le nombre de listes ordonnées (sans répétition d’élément) de $k$ objets pris parmi $N$ est : (animation graphique pour expliquer)\[A_N^k:=N(N-1)\cdots (N-(k-1))=\frac{N!}{(N-k)!}.\]Notons que $A_N^N=N!$
- Le nombre de sous-ensembles de $\Omega$ possédant exactement $k$ éléments est :\[C_N^k:=\frac{N!}{k!\left(N-k\right) !}.\]D’après le point #1, il suffit de constater que chaque sous-ensemble à $k$ éléments permet de générer $k!$ listes sans répétition des $k$ objets. Donc $C_N^k\,k!=A_N^k$.
- On rappelle la formule du binôme pour $a,b$ réels ou complexes :\[\sum_{k=0}^N C_N^k\, a^k\, b^{N-k}=\left(a+b\right)^N \label{eq:Binome}\]
Crédits
Auteur : James Ledoux (INSA Rennes)