Contraposição
Definição
A proposição se $A$ então $B$ term como contraposição a proposição se (não $B$) então (não $A$).
Propriedade
Uma proposição condicional e sua contraposição são verdadeiras ao mesmo tempo e falsas ao mesmo tempo. Diz-se que elas são equivalentes.
Exemplo
- A contraposição do teorema de Pitágoras « se num triangulo $ABC$, temos $AB^2+BC^2\ne AC^2$ então o triângulo $ABC$ não é um triângulo retângulo em $B$ ». Isso é utilizado para mostrar que um triângulo não é um triângulo retângulo.
- Seja $M(x_M,y_M)$ um ponto do plano. A proposição « se $y_M=3x_M+2$ então o ponto $M$ pertence a direita da equação $y=3x+2$ » tem a contraposição « se $M$ não pertence à direita da equação $y=3x+2$ então $y_M\ne 3x_M+2$ ».
Vocabulário
Quando a propriedade « se $A$ então $B$ » é verdadeira, sua contraposição « se não $B$ então não $A$ » é verdadeira também. Ela é interpretada dizendo que $B$ é uma condição necessária para $A$ porque se $B$ não é verdadeira, então $A$ também não é. Diz-se também que é preciso ter $B$ para ter-se $A$.
Exemplo
- Como « $(x=-2)\implies (x^2=4)$ » é verdadeira, pode-se dizer que « $x^2=4$ é uma condição necessária para ter $x=-2$ ». Pode-se também dizer que « é preciso que $x^2=4$ para que $x=-2$ ».
- É preciso que $ABCD$ seja um paralelogramo para que $ABCD$ seja um losango.
Recíproca
Definição
A proposição condicional se $A$ então $B$ tem por recíproca a proposição condicional se $B$ então $A$.
Exemplo
- A implicação « se $x^2\geq 4$ então $x\geq 2$ » é falsa e sua recíproca « se $x\geq 2$ então $x^2\geq 4$ » é verdadeira.
- A implicação « se $x=1$ então $x^2=1$ » é verdadeira mas sua recíproca « se $x^2=1$ então $x=1$ » é falsa porque pode-se ter $x=-1$.
- Considere um triângulo $ABC$. A implicação « se o triângulo $ABC$ é retângulo em $B$ então $AB^2+BC^2=AC^2$ » é verdadeira e sua recíproca também (teorema de Pitágoras e sua recíproca).