Capítulo 16Espacios vectoriales

TeoríasSuma de dos subespacios vectoriales

Definición

Sean $F$ y $G$ dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial $E$.
Proponemos $F+G=\left\{v_1+v_2\mid v_1\in F,v_2\in G\right\}$.

Véase la animación
Se puede generalizar al caso de $n$ subespacios vectoriales.
Sea el $\mathbb{R}$-espacio vectorial $\R^2$.Sean $D_1=\left\{(x,0) \mid x\in \mathbb{R}\right\}$ y $D_2=\left\{(0,y)\mid y\in \mathbb{R}\right\}$.Entonces, $D_1+D_2=\left\{(x,y) \mid x\in \mathbb{R}\wedge \ y\in \mathbb{R}\right\}=\R^2$.
Teorema
Con las anotaciones de arriba, $F+G$ es un subespacios vectorial de $E$.

Proponemos $H=F+G$. Mostremos que $H$ es un subespacio vectorial.
Podemos escribir : $0_E=\underbrace{0_E}_{\in F}+\underbrace{0_E}_{\in G}$. Nosotros deducimos que $0_E$ es un elemento de $H$ y así $H$ es no vacío.
Sean $u$ y $v$ dos vectores de $H$. Tenemos : \[\exists u_F\in F,\ \exists u_G\in G,\ u=u_F+u_G\text{ y }\exists v_F\in F,\ \exists v_G\in G,\ v=v_F+v_G\].

Sean $\alpha$ y $\beta$ dos escalares.
Proponemos $w=\alpha u+\beta v$. Tenemos : $w=\alpha(u_F+u_G)+\beta(v_F+v_G)=(\alpha u_F+\beta v_F)+(\alpha u_G+\beta v_G)$.
O, como $F$ es un subespacio vectorial, $(\alpha u_F+\beta v_F)\in F$.
Del mismo modo, como $G$ es un subespacio vectorial, $(\alpha u_G+\beta v_G)\in G$.
Nosotros deducimos que $w=\alpha u+\beta v$ es un elemento de $H$.

Donde, $H$ es un subespacio vectorial de $E$.

El teorema siguiente muestra la importancia de la suma de dos subespacios vectoriales.

Como veremos más adelante, vamos a menudo a trabajar en álgebra lineal con las nociones de «menor», «mayor», «máximo», «mínimo», etc.
La demostración de este teorema nos familiarizará con estas nociones.

Teorema
$F+G$ es el subespacio vectorial más pequeño de $E$ conteniendo $F$ y $G$ : $F+G=Vect(F\cup G)$
Vamos a proceder por doble inclusión.Mostremos que: $F+G\subset Vect\left(F\cup G \right)$.Sea $u$ un vector de $F+G$. Tenemos : $\exists u_F\in F,\ \exists u_G\in G,\ u=u_F+u_G$.Los vectores $u_F$ y $u_G$ son dos elementos de $F\cup G$. Por lo tanto su suma es un elemento de $Vect(F\cup G)$. De ahí la inclusión.Mostremos la segunda inclusión : $Vect(F\cup G)\subset F+G$.Sea $u$ un vector de $Vect(F\cup G)$.Entonces, $u$ es una combinación lineal de vectores de $F$ y de $G$, donde $u$ es un elemento de $F+G$.De ahí el resultado.

Ahora vamos a dar la definición de una propiedad, que la suma de dos subespacios vectoriales puede tener o no. Esta propiedad, una vez que esta verificada nos será muy útil.

Definición
Sean $F$ y $G$ dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial $E$.
La suma $F+G$, se llama directa si por definición $F\cap G=\{0_E\}$. Denotamos entonces $F\oplus G$.
Ejemplos en $\R^3$ con dos líneas, una recta y un plano, etc.
Sea $E=\R^3$ espacio vectorial con las leyes usuales.Hemos demostrado que : $P$ definida por su ecuación cartesiana $3x+2y+z=0$, es decir $P=\left\{(x,y,z) \in \R^3 \mid 3x+2y+z=0\right\}$ es un subespacio vectorial de $E$.Del mismo modo, $D$ define un par $\left\{ \begin{align}& x+y+2z=0 \\& x-y-z=0 \\\end{align} \right.$, es decir $D=\left\{(x,y,z) \in \R^3 \mid x+y+2z=0\wedge x-y-z=0\right\}$ es un subespacio vectorial de $E$.Determinamos $P\cap D$.Sea $u=(x,y,z)$ un vector de $\R^3$.$ \begin{aligned}& u\in P\cap D\iff \left\{ \begin{aligned}& \ x+\ y+2z=0 \\& \ x\ -\ y-\ z=0 \\& 3x+2y+z=0 \\\end{aligned} \right.\iff \left\{ \begin{aligned}& \ x+\ y+2z=0 \\& \ \ 2y+3z=0 \\& \ \ \ y+5z=0 \\\end{aligned} \right.\iff \left\{ \begin{aligned}& x+y+2z=0 \\& \ \ 2y+3z=0 \\& \ \ \ -7z=0 \\\end{aligned} \right.\iff \left\{ \begin{aligned}& x=0 \\& y=0 \\& z=0 \\\end{aligned} \right. \\\end{aligned}$ Hemos demostrado así que $P\cap D=\left\{0_{\R^3}\right\}$ y así que la suma $P+D$ es directa. La denotaremos por $P\oplus D$.Sea ahora $D’$ definida por el par $\left\{ \begin{align}& x+4y+2z=0 \\& \ \ 2y+z=0 \\\end{align} \right.$, es decir $D’=\left\{(x,y,z) \in \R^3 \mid x+4y+2z=0\wedge 2y+z=0\right\}$.Mostermos que $D’$ es un subespacio vectoriel de $\R^3$.$0_{\R^3}$ es elemento de de $D’$ por lo tanto $D’$ es no vacío.Sea $u=(x,y,z)$ un vector de $\R^3$.$u\in D’\iff \left\{ \begin{aligned}& x+4y+2z=0 \\& \ \ \ 2y+z=0 \\\end{aligned} \right.\iff \left\{ \begin{aligned}& x=0 \\& y=-\frac12\alpha \\& z=\alpha \\\end{aligned} \right.$.Proponemos $u_0=(0,-\frac12,1)$. A continuación, $D’=Vect(\{u_0\})$.Por lo tanto, $D’$ es un subespacio vectorial.Determinamos $P\cap D’$.Sea $u=(x,y,z)$ un vector de $\R^3$. $\begin{aligned}& u\in P\cap D’\iff \left\{ \begin{aligned}& x+4y+2z=0 \\& \ \ \ 2y+z=0 \\& 3x+2y+z=0 \\\end{aligned} \right. \iff \left\{ \begin{aligned}& x+4y+2z=0 \\& \ \ 2y+z=0 \\& \ \ 10y+5z=0 \\\end{aligned} \right.\iff \left\{ \begin{aligned}& x+2y+4z=0 \\& \ \ \ y+2z=0 \\& \ \ \ \ 0=0 \\\end{aligned} \right.\iff \left\{ \begin{aligned}& x=0 \\& y=-2\alpha \\& z=\alpha \\\end{aligned} \right. \\\end{aligned}$Tenemos : $P\cap D’=D’$.Así, $P\cap D’\ne \left\{0_{\R^3}\right\}$ por lo tanto la suma $P+D’$ no es la suma directa.
Sea $\mathbb{R}_2[X]$ considere como un espacio vectorial.Sea $F= \mathbb{R}_1[X]$. $F$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}_2[X]$.Sea $G=\left\{P\in \mathbb{R}_2[X] \mid P(1)=0 \right\}$. Ya hemos demostrado que $G$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}_2[X]$.La suma $F+G$ ¿es suma directa ?El polimonio $P=X-1$ pertenece a $F\cap G$. Por lo tanto, $F\cap G\ne {0_{P_2[X]}}$.La suma $F+G$ no es directa.Sea $H=\left\{P\in P_2[X]\mid\exists \alpha \in \mathbb{R},\ P=\alpha X^2 \right\}$.Es fácil demostrar que $H$ es un subespacio vectorial de $P_2[X]$.Mostremos que $F\cap H={{0}_{P_2[X]}}$.Deducimos : $\alpha X2+aX+b=0_{P_2[X]}$ y por lo tanto : $a=b=\alpha=0$. Y por lo tanto, $P=0_{P_2[X]}$.Así, hemos demostrado que : $F\cap H={0_{P_2[X]}}$.La suma $F+H$ es por tanto directa y la denotamos.

Demos ahora una propiedad equivalente a la definición precedente :

Teorema
Sean $F$ y $G$ dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial $E$.
La suma $F+G$ es directa si sólo si cada vector $F+G$ únicamente se descompone como la suma de un elemento de $F$ y un elemento de $G$.
Procedamos por la doble implicación.Supongamos que la suma $F+G$ es directa y mostremos que cada vector de $F+G$ se descompone de manera única como la suma de un elemento de $F$ y de un ele-mento de $G$.Sea $u$ un vector de $F+G$. A continuación : $\exists u_F\in F,\ \exists u_G\in G,\ u=u_F+u_G$.Tenemos así la existencia de la descomposición de un vector de $F+G$ como la suma de un elemento de $F$ y de un elemento de $G$.Mostremos la unicidad. Son $v_F$ y $v_G$ dos vectores tales que $u=v_F+v_G$.Vamos a demostrar que necesariamente $u_F=v_F$ y $u_G=v_G$.Tenemos : $u=u_F+u_G=v_F+v_G$.Por lo tanto, $u_F-v_F=v_G-u_G$. El vector $u_F-v_F$ es una combinación lineal de vectores de $F$, por lo tanto pertenece a $F$.Del mismo modo, el vector $v_G-u_G$ es un combinación lineal de vectores $G$, de donde pertenece a $G$. En consecuencia, estos dos vectores son iguales. Ellos por lo tanto pertenecen a $F\cap G$. Como $F\cap G=\{0_E\}$, nosotros deducimos : $u_F=v_F$ et $u_G=v_G$.Mostremos la implicación recíproca.Supongamos que todo vector de $F+G$ se descompone de manera única como la suma de un elemento de $F$ y de un elemento de $G$. Mostremos que la suma $F+G$, es directa, es decir que $F\cap G=\{0_E\}$.Es claro que $0_E\subset F\cap G$.Mostremos la inclusión $F\cap G\subset \{0_E\}$.Sea u un elemento de $F\cap G$.Tenemos : $u=\underbrace{u}_{\in F}+\underbrace{0_E}_{\in G}=\underbrace{0_E}_{\in F}+\underbrace{u}_{\in G}$.Como la descomposición de un vector es única, como la suma de un elemento de $F$, y de un elemento de $G$, deducimos que $u=0_E$. De ahí el resultado.

$E=\R^3$. Hemos establecido $i=(1,0,0)$, $j=(0,1,0)$ y $k=(0,0,1)$. Tenemos $E=Vect({i,j,k})$.

  1. Sean $F=Vect({i, j – i})$ y $G=Vect({k, j + k})$. La suma no es directa porque :\[-i+j+k=\underbrace{-i}_{\in F}+\underbrace{j+k}_{\in G}=\underbrace{-i+j}_{\in F}+\underbrace{k}_{\in G}\]
  2. Sean $F=Vect({i, j+k})$ y $G=Vect({j-k-i})$.
    La suma $F+G$ es directa y $F\oplus G=\R^3$ porque :\[xi +yj+zk=\frac12 (2x+y-z)i+\frac12 (y+z)(j+k)+ \frac12(y-z)(j-k-i)\]y no hay otra posibilidad.

En los dos ejemplos anteriores, es más fácil demostrar que la suma es directa encon-trando $F\cap G$.

Definición

Sean $F$ y $G$ dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial $E$. $F$ y $G$ son suplementarios si por la definición $F\oplus G=E$.

  • No debe confundirse el término suplementario con complementario.
  • Si $A\oplus B=A\oplus C$ entonces no necesariamente pasa que $B=C$.Por ejemplo, para $E=\R^2$ ; $A=\left\{(x,0)\in \R^2\mid x\in \mathbb{R}\right\}$, $B=\left\{(0,y)\in \R^2 \mid y\in \mathbb{R}\right\}$ y $C=\left\{(x,x)\in \R^2\mid x\in \mathbb{R}\right\}$
Animación con subespacios vectoriales de $\R^2$, de $\R^3$.
Sea $E=\R^3$ considerado como un $E$-espacio vectorial con las propiedades usuales.Sean $P$ definido por su ecuación cartesiana $3x+2y+z=0$, es decir $P=\left\{(x,y,z)\in \R^3 \mid 3x+2y+z=0\right\}$ es un subespacio vectorial de $E$.Y $D$ definido por $\left\{ \begin{align}& x+y+2z=0 \\& x-\,y-\ \ z=0 \\\end{align} \right.$, es decir $D=\left\{(x,y,z) \in \R^3 \mid x+y+2z=0\wedge x-y-z=0\right\}$.$D$ es un subespacio vectorial de $E$.Hemos demostrado que $P\cap D=\left\{0_{\R^3} \right\}$. La suma es por tanto directa.Mostramos usando la idea de la dimensión que $P\oplus D=\R^3$. Así, $P$ y $D$ son suplementarios.
Sea $\mathbb{R}_2[X]$ considerado como un espacio vectorial.Sean $F=\mathbb{R}_1[X]$ y $H=\left\{P\in \mathbb{R}_2[X]\mid \exists \alpha \in \mathbb{R},\ P=\alpha X^2 \right\}$.Hemos demostrado que $F\cap H=\left\{{0_{P_2[X]}}\right\}$. La prueba es evidente.La suma es por tanto directa.Mostraremos usando la idea de la dimensión que $F\oplus H=P_2[X]$. Así, $F$ y $H$ son suplementarios.
$E=\R^2$, $F_1=\mathbb{R}\times \{0\}=\left\{(x,0)\in \R^2 \mid x\in \mathbb{R}\right\} $ y $F_2=\{0\}\times \mathbb{R}=\left\{(0,y)\in {\R^2}\mid y\in \mathbb{R}\right\}$.Tenemos $F_1\oplus F_2=E$.
Sean $E$ un espacio de las aplicaciones definidas sobre $\mathbb{R}$ a los valores de $\mathbb{R}$, $F_1$ un subespacio vectorial de aplicaciones definidas sobre $\mathbb{R}$ a los valores de $\mathbb{R}$ y $F_2$ un subespacio vectorial de aplicaciones impares definidas sobre $\mathbb{R}$ en valores de $\mathbb{R}$.Tenemos : $F_1\oplus F_2=E$.En efecto, la única aplicación que es par e impar al mismo tiempo, es la aplicación nula, de donde : $F_1\cap F_2=\{0_E\}$.Sea $f$ un elemento de $E$. Entonces, $\forall x\in \mathbb{R},\ f(x)=\underbrace{\frac12\left(f(x)+f(-x) \right)}_{\in F_1}+\underbrace{\frac12\left(f(x)-f(-x) \right)}_{\in F_2}$.Por lo tanto, $F_1+F_2=E$.Hemos así demostrado que : $F_1\oplus F_2=E$.