Definición
Sea $E$ un $E$-espacio vectorial y $A$ un subconjunto no vacío de $E$. El subespacio vectorial generado por $A$ es el menor subespacio vectorial vectorial de $E$ que contiene a $A$. Se denota $Vect(A)$ (o $\langle A \rangle $).
Véase la animación
Nota
- $Vect(\varnothing)$=${0_E}$.
- $Vect(A)=\bigcap\limits_{\begin{matrix}F\text{ sev} \\\text{A}\subset F \\\end{matrix}}{F}$.
- Si $A$ es un espacio vectorial, entonces $Vect(A)=A$.
Teorema
Sea $E$ un espacio vectorial y $x_1, \ldots,x_n$ elementos de $E$.$Vect(\{x_1,\ldots,x_n\})$ es el conjunto de combinaciones lineales de $x_1, \ldots,x_n$. \[Vect\left(\{x_1,\ldots,x_n\}\right)=\left\{ \sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda}_{i}}{x_i}}\ /\ \forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in \mathbb{K}\right\}\]En este caso decimos que la familia $\{x_1,\ldots,x_n\}$ es una $g$ familia generadora de este subes-pacio vectorial.
Véase la prueba
Procederemos por doble inclusión.Mostremos que : $Vect\bigl(\{x_1,\ldots,x_n\}\bigr)\subset \left\{\sum\limits_{i=1}^{n}{\lambda_ix_i}\ \mid\ \forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in \mathbb{K}\right\}$.Es suficiente remarcar que $\left\{ \sum\limits_{i=1}^{n}{{\lambda_i}{x_i}}\ \mid\ \forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in \mathbb{K}\right\}$ es un subespacio vectorial (es no vacío y la combinación lineal es estable) que contiene ${x_1,\ldots,x_n}$.Por lo tanto $\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\ \mid \ \forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in \mathbb{K}\right\}$ contiene el menor subespacio vectorial ${x_1,\ldots,x_n}$.Recíprocamente, mostramos que $\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\ \mid \ \forall i=1,\ldots,n,\ \lambda _i\in \mathbb{K}\right\}\subset Vect\left(\{x_1,\ldots,x_n\}\right)$.$Vect\left(\{x_1,\ldots,x_n\}\right)$ contiene ${x_1,\ldots,x_n}$. Por lo que contiene todas las combinaciones lineales de $\{x_1,\ldots,x_n\}$, es decir $\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\ \mid \ \forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in\mathbb{K}\right\}$.De ahí el resultado.
Ejemplo
Sea $\R$-espacio vectorial $\R^3$.Mostremos que $F=\bigl\{(x,y,z)\in \R^3\bigm\vert x+y+z=0\bigr\}$ es un subespacio vectorial determinando una familia generadora.
Véase la prueba
Sea $u=(x,y,z)$.$u\in F\iff x+y+z=0\iff \left\{ \begin{matrix} x &=& -\alpha & – & \beta \\ y &=& {} & {} & \beta \\ z &=& \alpha & {} & {} \\\end{matrix} \right.$ donde $\alpha$ y $\beta$ dos números reales.Pongamos $u_0=(-1,0,1)$ y $u_1=(-1,1,0)$. Nosotros obtenemos : $u\in F\iff \exists \alpha \in\R,\ \exists \beta \in\R,\ u=\alpha u_0+\beta u_1$.Por lo tanto, $F=Vect(\{u_0,u_1\})$ y $F$ es un subespacio vectorial generado por la familia $\{u_0,u_1\}$.
Ejemplo
Sea el $\R$-espacio vectorial $\R^3$.Mostremos que $G=\bigl\{(x,y,z)\in \R^3\bigm\vert x+y+z=0 \wedge x-y+2z=0\bigr\}$ es un subespacio vectorial determinando una familia generadora.
Véase la prueba
Sea $u=(x,y,z)$.$u\in G\iff \left\{ \begin{matrix} x & + & y & + & z &=& 0 \\ x & – & y & + & 2z &=& 0 \\\end{matrix} \right.\iff \left\{ \begin{matrix} x & + & y & + & z &=& 0 \\ {} & {} & 2y & – & z &=& 0 \\\end{matrix} \right.\iff \left\{ \begin{matrix} x &=& -\frac{3}{2}\alpha \\ y &=& \frac12\alpha \\ z &=& \alpha \\\end{matrix} \right.$ donde $\alpha$ es un número real.Pongamos $u_0=\left(-\frac{3}{2},\frac12,1 \right)$. Nosotros obtenemos : $u\in G\iff \exists \alpha \in \R,\ u=\alpha u_0$.Por lo tanto, $G=Vect(\{u_0\})$ y $G$ es un subespacio vectorial de la familia generadora $\{u_0\}$.
Ejemplo
Sea el $\R$-espacio vectorial $E^2$.Mostremos que $H =\left\{(x+y+z,z-2y) \mid (x,y,z)\in \R^3\right\}$ es un subespacio vectorial determi-nando una familia generadora.
Véase la prueba
Tenemos:$H=\left\{(x,0)+(y,-2y)+(z,z) \mid (x,y,z)\in \R^3\right\}=\left\{x(1,0)+y(1,-2)+ z(1,1)\mid (x,y,z)\in \R^3\right\}$Donde $F=Vect \left\{(1,0),(1,-2),(1,1)\right\}$.$F$ por lo tanto es generado por los vectores : $\left\{(1,0),(1,-2),(1,1)\right\}$.
Propriedad
Sean $A$ y $B$ dos subconjuntos de un $E$-espacio vectorial $E$.\[A\subset B\implies Vect\left(A \right)\subset Vect\left(B \right)\]
Véase la prueba
Sea $u$ un elemento de $Vect(A)$. Se escribe entonces como una combinación lineal de elementos de $A$ por lo tanto de elementos de $B$ y por consecuencia $u$ es un elemento de $Vect(B)$.
Nota
Sea $F$ un subespacio vectorial de un espacio vectorial $E$, $\{x_1,\ldots,x_n\}$ de los vectores de $E$.
Para mostrar que $Vect\left(\{x_1,\ldots,x_n\} \right)\subset F$, es suficiente probar que $\forall i,\ 1\le i\le n,\ x_i \in F$.
Para mostrar que $Vect\left(\{x_1,\ldots,x_n\} \right)\subset F$, es suficiente probar que $\forall i,\ 1\le i\le n,\ x_i \in F$.