En la práctica, los problemas, aplicaciones del álgebra lineal, se harán en un espacio vectorial $E$, que nos dará el marco de trabajo. Después tendremos las condiciones que nos harán trabajar sobre conjuntos más pequeños : los subespacios vectoriales.
Definición
Sea $E$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $F$ un subconjunto de $E$. $F$ es un subespacio vectorial de $E$ si y solamente si $F$ es un espacio vectorial (con las leyes inducidas por $E$).
Esta definición se utiliza raramente en la práctica. De hecho, aunque simple, su uso induce la verificación de numerosos elementos. Vamos a utilizar preferentemente la siguiente caracterización, cuya demostración se deja al lector.
Teorema
Sea $E$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial, $F$ un subconjunto de $E$. $F$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial si y solamente si :
- $F$ no es vacío ;
- $F$ es cerrada (por ley interna) de $E$ ;
- $F$ es cerrada (por ley externa) de $E$ sobre $E$.
Nota
- $E$ y $\{0_E\}$ son subespacios vectoriales de $E$.
- Sea $F$ un subespacio vectorial de un espacio vectorial de $E$.Como $F$ es no vacío, contiene un vector $u$.Como $F$ es cerrado por con la ley externa, $F$ contiene el vector $0\otimes u$, es decir, el vector nulo de $E$, denotado $0_E$.En general, es fácil demostar que este vector nulo es o no un elemento de un conjunto.La propiedad uno del teorema anterior se puede entonces escribir « F contiene el vector nulo de E, $0_E$ ».
- Las propiedades 2 y 3 del teorema anterior suelen ser en general, faciles de demostar. Así, es preferible demostrar la siguiente propiedad equivalente : $\forall(u,v)\in F^2,\ \forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}^2,\ (\alpha\bullet u)\oplus(\beta\bullet v)\in F$.Se dice también en este caso que $F$ es estable por combinación lineal. Es fácil demostrar que la estabilidad por combinacion lineal anterior, es equivalente a : $\forall(u,v)\in F^2,\ \forall\lambda\in \mathbb{K},\ u\oplus(\lambda\bullet v)\in F$.
Se obtienen los siguientes teoremas :
Teorema
Sea $E$ un espacio vectorial, $F$ un subconjunto de $E$. $F$ es un subespacio vectorial si y sólo si :
- $0_E$ es un elemento de $F$,
- $\forall(u,v)\in F^2,\ \forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}^2,\ (\alpha\bullet u)\oplus(\beta\bullet v)\in F$.
Teorema
Sea $E$ un $E$-espacio vectorial y $F$ un subconjunto de $E$. $F$ es un subespacio vectorial si y sólo si :
- $0_E$ es un elemento de $F$,
- $\forall(u,v)\in F^2,\ \forall\lambda\in\mathbb{K},\ u\oplus(\lambda\bullet v)\in F$.
Nota
En lo siguiente, si no causa confusión, por simplicidad, denotaremos $+$ la adición de dos vectores (en lugar de $\oplus$) y denotaremos $\alpha u$, el producto de un escalar $\alpha$ por el vector $u$ (en lugar de $\alpha\bullet u$).
Ejemplo
El conjunto $\bigl(C(I;\mathbb{R});+;\times\bigr)$ de aplicaciones continuas de $I$ en $\mathbb{R}$ es un suespacio vectorial de $\bigl(A(I;\mathbb{R});+;\times\bigr)$.
Véase la prueba
La función nula, vector nulo de $A(I;\mathbb{R})$, es una aplicación continua de $I$ en $\mathbb{R}$. Por lo tanto, $C(I;\mathbb{R})$ es no vacío.Sean $f$ y $g$ elementos de $C(I;\mathbb{R})$ y $\alpha$ e $\beta$ dos números reales.Entonces $\alpha f+\beta g$ todavía una aplicación continua de $I$ en $\mathbb{R}$, es decir, un elemento de $C(I;\mathbb{R})$.Hemos así demostrado que $C(I;\mathbb{R})$ es no vacío y estable por combinacion lineal. Por lo tanto, $\bigl(C(I;\mathbb{R});+;\times\bigr)$ es un subespacio vectorial de $\bigl(A(I;\mathbb{R});+;\times\bigr)$.
Ejemplo
Sea $E=\mathbb{R}^3$ un espacio vectorial. Entonces $P$ definida por su ecuación cartesiana : $3x+2y+z=0$, es decir : $P=\bigl\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\;\bigm\vert\;3x+2y+z=\bigr\}$ es un subespacio vectorial de $E$.Del mismo modo, $D$ definido por \[\left\{ \begin{matrix} x+y+2z=0\\ x-y-z=0,\end{matrix}\right.\] es decir $D=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\bigm\vert x+y+2z=0\wedge x-y-z=0\bigr\}$ es un subespacio vectorial de $E$.
Véase la prueba
Mostremos que $P$ es un subespacio vectorial.$0_{\mathbb{R}^3}=(0,0,0)$ es un elemento de $P$. En efecto, $3×0+2×0+0=0$. Por lo tanto, $P$ no es vacío.Sean $u=(x_1,y_1,z_1)$ y $v=(x_2,y_2,z_2)$ dos vectores de $P$, se verifica: $3x_1+2y_1+z_1=0$ y $3x_2+2y_2+z_2=0$Sean $\alpha$ y $\beta$ dos números reales. Dejemos $w=\alpha u+\beta v$.En nuestro caso : $w=(\alpha x_1+\beta x_2,\alpha y_1+\beta y_2,\alpha z_1+\beta z_2)$.Entonces comprobamos : $3(\alpha x_1+\beta x_2)+2(\alpha y_1+\beta y_2)+(\alpha z_1+\beta z_2)=\alpha(3x_1+2y_1+z_1)+\beta(3x_2+2y_2+z_2)=0$.Nosotros deducimos que $w=\alpha u+\beta v$ es un elemento de $P$.Por lo tanto, $P$ es un subespacio vectorial de $E$.También se puede demostrar que $D$ es un subespacio vectorial de $E$.
Ejemplo
$F =\left\{(x; y; z;t) \in \mathbb{R}^4;x-y+z-t=0\right\}$ es un subespacio vectorial del espacio vectorial clásico $\mathbb{R}^4$ dotado de las cuatro leyes « clásicas ».En efecto, $(0;0;0;0) \in F$ por lo tanto $F\ne \varnothing$.Sean $(u;v) \in \mathbb{F}^2$ y $\lambda \in \mathbb{R}$.Entonces $u=(x;y;z;t) \in \mathbb{R}^4$ y $v=(x’;y’;z’;t’) \in \mathbb{R}^4$ con $x-y+z-t=0$ et $x’–y’+z’– t’=0$Entonces $\lambda u+v=(\lambda x+x’;\lambda +y’;\lambda z+z’;\lambda t+t’)$ y $(\lambda x+x’)-(\lambda y+y’)+(\lambda z+z’)-(\lambda t+t’)=0$. Por lo tanto $\lambda u+v \in F$.En conclusión $F$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^4$.
Ejemplo
Sean $\mathbb{R}_n[X]$ el conjunto de polinomios $\mathbb{R}[X]$ de grado menor o igual a $n$.$\mathbb{R}_n[X]$ provisto de leyes « clásicas » es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}[X]$.En efecto, $\mathbb{R}_n[X]$ es no vacío y es estable por combinación lineal.
Ejemplo
Sean $G=\bigl\{P\in \mathbb{R}_2[X]\bigm\vert P(1)=0 \bigr\}$. Demostrar que $G$ es un subespacio de $\mathbb{R}_2[X]$.El polinomio nulo es un elemento de $G$ por lo tanto $G$ es no vacío.Sean $P$ y $Q$ dos elementos de $G$ y sean $\alpha$ y $\beta$ dos números reales.Entonces $\alpha P + \beta Q$ es un elemento de $\mathbb{R}_2[X]$.Además, $(\alpha P + \beta Q)(1)=\alpha P(1)+ \beta Q(1)=0$. Por lo tanto, $\alpha P + \beta Q$ es un elemento de $G$.$G$ es no vacío y estable por combinación lineal, se deduce que $G$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}_2[X]$.
¿ Cuáles son las posibles operaciones con subespacios vectoriales ?
Un subespacio vectorial siendo un conjunto, se plantea la pregunta de si la intersección, la unión, el complemento son subespacios vectoriales.
Teorema
La intersección de dos subespacios vectoriales de $E$ es un subespacio vectorial de $E$.
Véase la prueba
Sean $F$ y $G$ dos subespacios vectoriales de $E$. Sea $H=F\bigcap G$.Por demostrar que $H$ es un subespacio vectorial.Como $F$ y $G$ son dos subespacios vectoriales, ellos contienen $0_E$. $0_E$ es un elemento de $H$ y por lo tanto $H$ es no vacío.Sean $u$ y $v$ dos vectores de $H$. Sean $\alpha$ y $\beta$ dos escalares.Supongamos $w=\alpha u + \beta v$. $w$ es un elemento de $F$, como combinación lineal de elementos de $F$ .De manera similar, $w$ es un elemento de $G$ como combinación lineal de elementos de $G$.Deducimos que $w=\alpha u + \beta v$ es un elemento de $H$.Por lo tanto, $H$ es un subespacio vectorial de $E$.
Nota
La unión de dos subespacios vectoriales de $E$ no es, en general un subespacio vectorial de $E$.
Véase la animación
Véase la prueba
Nosotros podemos ver que la unión de dos subespacios vectoriales es no vacía, es estable por el producto por un escalar.Mostremos que la unión, no es en general estable bajo la suma. Un contraejemplo será suficiente.Sea $E=\mathbb{R}^2$, espacio vectorial.Sean $F=\bigl\{(x,0)\bigm\vert x\in \mathbb{R} \bigr\}$ y $G=\bigl\{(0,y)\bigm\vert y\in \mathbb{R}\bigr\}$.$F$ y $G$ son dos subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^2$.En efecto $(0;0) \in F$ por lo tanto $F$ es no vacío.Sean $(x_1;0) \in F$, $(x_2;0) \in F$ y $\lambda \in \mathbb{R}$.$\lambda (x_1;0)+(x_2; 0)=(\lambda x_1;0)+(x_2;0)=(\lambda x_1+x_2;0) \in F$$F$ es por lo tanto un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^2$. De manera similar, $G$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^2$.El vector $u=(1,0)$ es un elemento de $F$, el vector $v=(0,1)$ es un elemento de $G$.Así, $u$ y $v$ son elementos de $F\bigcup G$.Por lo tanto $w=u+v=(1,1)$.Este vector $w$ no es un elemento de $F$ ni de $G$. No es por lo tanto elemento de $F\bigcup G$.Por lo tanto $F\bigcup G$ no es estable por la propiedad interna.Hemos demostrado que la unión de dos subespacios vectoriales, no es en general un subespacio vectorial.
Veamos el siguiente ejercicio :
Propriedad
La unión de dos subespacios vectoriales $F$ y $G$ de $E$ es un subespacio vectorial de $E$ si y solamente si $F\subset G$ o $G\subset F$.
En este caso, la unión es el conjunto más grande de los dos subespacios vectoriales y por lo tanto no es de mucho interés…
Veamos que la suma de espacios vectoriales es una buena noción.
Nota
El complemento de un subespacio vectorial no es un subespacio vectorial. En efecto, no contiene el vector nulo.