Capítulo 16Espacios vectoriales

TeoríasRango de una familia de vectores

Para cerrar este módulo, vamos a presentar un concepto final, la noción de rango de una familia de vectores. Este concepto es simple, y muy útil. También veremos un algoritmo para obtener esta clasificación, algoritmo llamado «método de ceros escalonados».

Definición

Sean $E$ un espacio vectorial y $F=\{v_1,\ldots,v_p\}$ una familia de $p$ vectores de $E$.
El rango de de $F$ es la dimensión de $Vect(\{v_1,\ldots,v_p\})$.

Se denota $rg(F)$ el rango de la familia $F$.

$rg(F)\leq p$.
Ejemplo

Sea $E=\R^3$ considere como $\R$-espacio vectorial. Sean $u=(1,1,1)$, $v=(2,3,-1)$ y $w=(4,5,1)$.
Determinemos el rango de la familia $\{u,v,w\}$.

Para ello se consideremos, $Vect(\{u,v,w\})$ y buscamos su dimensión.Nosotros tenemos una familia generadora. Vamos a deducir una base.Veamos si esta familia es linealmente independiente o linealmente dependiente. Para ello resolvamos el sistema : $\alpha u+\beta v+\gamma w= 0_{\R^3}$.Esta ecuación es equivalente al sistema : $\left\{ \begin{matrix} \alpha & + & 2\beta & + & 4\gamma & = & 0 \\ \alpha & + & 3\beta & + & 5\gamma & = & 0 \\ \alpha & – & \beta & + & \gamma & = & 0 \\\end{matrix} \right.$.Este sistema (además de la solución $\alpha=\beta=\gamma=0$) la solución $\alpha=1$, $\beta=2$, $\gamma=-1$.Así que la familia esta linealmente dependiente y $w=u+2v$.Por lo tanto $Vect(\{u,v,w\})= Vect(\{u,v\})$.Es fácil demostrar que la familia $\{u,v\}$ es linealmente independiente.Por lo tanto, $Vect(\{u,v,w\})$ tiene una base $(u,v)$ y $Dim\ Vect(\{u,v,w\})=2$.Nosotros concluimos $rg(\{u,v,w\})=2$.

Propriedad
$rg(F)=p$ si y sólo si $F$ es linealmente independiente.
Inmediata
Consecuencia
Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ y sea $F=\{v_1,\ldots,v_n\}$ una familia de $n$ vectores de $E$.$rg(F)=n$ si y sólo si $F$ es una base de $E$.
Inmediata

Daremos un algoritmo para obtener su rango. Este es el método de los ceros escalonados se basa en las siguientes propiedades :

Propriedad
  1. $rg(\{v_1,\ldots,v_p\})=rg(\{\gamma_1v_1,\ldots,v_p\})$ con $\gamma_1$ elemento de $\K*$.
  2. $rg(\{v_1,\ldots,v_p\})=rg\left(\left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p\right\}\right)$ con $\gamma_2,\ldots,\gamma_p$ elementos de $\K$.
  3. $rg(\{v_1,\ldots,v_p\})=rg(\{v_1,\ldots,v_p,0_E\})$.
  4. El rango de una familia de vectores no depende del orden de sus vectores.
  1. Sea $\gamma_1$ elemento de $\K*$. Es suficiente observar que el conjunto de combinaciones lineales de $\{v_1,\ldots,v_p\}$ es igual a la combinación lineal de $\{\gamma_1v_1,\ldots,v_p\}$. En otras palabras : $rg(\{v_1,\ldots,v_p\})=rg(\{\gamma1v_1,\ldots,v_p\})$.
  2. Vamos a mostrar que : $Vect\left(\{v_1,\ldots,v_p\}\right)=Vect\left( \left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p \right\} \right)$. La igualdad deseada resultará.
    Procederemos por la doble inclusión.
    En primer lugar mostrar la inclusión $Vect\left( \{v_1,\ldots,v_p\} \right)\subset Vect\left(\left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p \right\}\right)$.Sea $u$ un elemento de $Vect(\{v_1,\ldots,v_p\})$.Existen $p$ escalares tales que ${(\alpha_i)}_{i=1,\ldots,p}$ tels que $u=\sum\limits_{i=1}^{p}\alpha_iv_i$.Mostremos ahora : \[u=\alpha_1v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\alpha_iv_i=\alpha_1v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\alpha_iv_i+\left(\alpha_1\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i-\alpha_1\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i\right)=\alpha_1\left(v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i\right)+\sum\limits_{i=2}^{p}{\left(\alpha_i-\alpha_1\lambda_i\right)v_i}\]Así, $u$ es una combinación lineal de $\left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p \right\}$. De ahí la primera inclusión.Mostremos la inclusión recíproca $Vect\left( \left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p \right\} \right)\subset Vect\left(\{v_1,\ldots,v_p\} \right)$.Sean $u$ un elemento de $Vect\left( \left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p \right\} \right)$, $u$ es por lo tanto una combinación lineal de $\left\{ v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p\right\}$. Por lo tanto, u es una combinación lineal de $\{v_1,\ldots,v_p\}$.Así tenemos la segunda inclusión.Se deduce la igualdad : $rg(\{v_1,\ldots,v_p\})=rg\left(\left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p\right\}\right)$.
  3. Los puntos 3 y 4 son evidentes.
En la práctica, gracias a los puntos, 1, 2 y 4, podemos para definir el subespacio vectorial generado por una familia de vectores, reemplazar un vector por una combinación lineal de todos los vectores siempre que los coeficientes de esos vectores no sean cero. Se obtiene el mismo subespacio generado, por lo que tiene el mismo rango. Esto nos permite calcular el rango de una familia de vectores por el método de ceros escalonados.
Ejercicio

Vamos a describir el algoritmo de ceros escalados con las siguientes aplicaciones

Sea $E=\R^3$ dotado de la base canónica $(i,j,k)$.

  1. Sean $u=(0,1,1)$, $v=(1,1,1)$, $w=(-1,1,2)$ y $n=(1,2,0)$.
    • Mostrar que $rg(\{u,v,w,n\})$ es $3$.
    • Deducir una base de $E$ formada por los vectores $u$, $v$, $w$, $n$.
    Véase la animación
  2. Sean $a=(1,1,0)$, $b=(1,2,1)$, $c=(5,8,3)$ et $d=(-1,-4,-3)$. Sea $F=Vect(\{a,b,c,d\})$.
    • Determinar una base de $F$ formada usando los vectores $a$,$b$,$c$,$d$.