Para demostrar que una proposición $P(n)$ es verdad para todo entero natural $n$, utilizamos un razonamiento adaptado a la naturaleza de los enteros naturales llamado razonamiento por recurrencia.
MétodoRazonamiento por recurrencia
Este razonamiento siempre procede en tres etapas:
- Inicialización: Verificamos que la proposición es verdadera para $n=0$. Esta etapa permite de inicializar la propiedad.
- Herencia: Sea $k$ un entero natural fijo. Suponemos la proposición verdadera a un rango $k$ (hipótesis de recurrencia) y mostramos entonces queesta es verdadera en el rango $(k+1)$. Esta etapa consiste en mostrar que la propiedad es hereditaria.
- Conclusión: La proposición es verdadera para $n=0$, por herencia esta es entonces verdadera para $n=1$, luego para $n=2$… y así para todos los valores enteros naturales.
Ejemplo
Si retomamos la imagen de la escalera:
- La etapa de inicialización consiste a poner el pie sobre el primer escalón.
- La etapa de herencia consiste a verificar que somos capaces de pasar de un escalón al siguiente escalón.
- Con estas dos propiedades, verificamos que podemos subir la totalidad de la escalera y alcanzar cualquier escalón, ¡sin importar su altura!
Nota
Si el problema que nosotros venimos de resolver es la demostración de una propiedad $P(n)$, donde $n$ ya no es un entero natural, pero un entero superior (o igual) a $1$ o de manera más general para un entero superior (o igual) a $n_0$, nosotros adaptaremos el método : la inicialización ya no se hará para un rango $0$ pero para un rango $n_0$ y para la herencia, nosotros demostraremos para un entero $k$ superior (o igual) a $n_0$.