Surgimiento del álgebra
El álgebra nace en Egipto y Babilonia casi simultáneamente, pero los métodos del álgebra babilónicos eran más sofisticados que los métodos egipcios. Documentos egipcios co-mo el papiro Rhind y el papiro Moscou datan respectivamente de 1850 AC y 1650 AC pero los métodos matemáticos que ahí se encuentran se remontan a un período anterior.
Para resolver ecuaciones lineales, los egipcios utilizaban un método que había sido fundado sobre una estimación inicial seguida por una corrección final. Este método fue más tarde nombrado por los europeos como « la regla de la falsa posición » (Baumgart, 1992).
Según Ferreira y Nogueira (2009), en Babilonia hay pruebas de que el origen del álge-bra empieza alrededor de 1700 AC con un cierto grado de sofisticación. Los babilónicos han estado en medida de resolver varias ecuaciones de coeficientes numéricos.
p>Según Baumgart (1992), la palabra « álgebra » es una variante del latín « al-jabr » o « al-jebr » utilizadas en el título del libro « Al-Jabr Hisab w’al-muqabalah » escrito en Bagdad hacia el año 825. La traducción textual del título del libro es « La ciencia de la restauración (o reu-nión) y de la reducción » lo que matemáticamente se escribe « La ciencia de la trasposición y de la anulación » o « la anulación de términos similares (iguales) en miembros opuestos de la ecuación ».A pesar de que el álgebra se refería únicamente a las ecuaciones, el álgebra tiene ahora un sentido más amplio. El álgebra está entonces constituida por dos partes :
- el álgebra antigua (elemental) que se refiere al estudio de las ecuaciones y los mo-dos de resolverlas ;
- el álgebra moderna se refiere al estudio de estructuras matemáticas tales como los grupos, los anillos y los campos.
Primeros conceptos de los espacios vectoriales
En 1888, Giuseppe Peano introduce la primera definición axiomática de espacio vecto-rial, pero la teoría del espacio vectorial comenzó a desarrollarse hasta después de 1920 [1].
A través de la resolución de sistemas lineales se desarrolló la teoría de los espacios vectoriales. Una de las cuestiones que son importantes para el desarrollo de los sistemas linea-res, y más tarde para los espacios vectoriales, es el estudio de las curvas algebraicas [1].
Dos proposiciones que conciernen las curvas algebraicas han sido conocidas:
- « Dos curvas algebraicas distintas de orden $m$ y $n$ respectivamente tienen en común los puntos $mn$ ». Estos puntos pueden ser multiples, complejos o infinitos, pero son puntos simples y reales que eran conocidos por los matemáticos de la época.
- « Para determinar una curva de orden $n$, es necesario y suficiente tener $\frac{n(n+3)}{2}$ puntos ».Esta proposición conduce a una paradoja. Ya que $n$ es superior a 2, $\frac{n(n+3)}{2}\le n^2$.
Entonces dos curvas algebraicas pueden tener más puntos en común que el número suficiente para determinar cada una de las curvas. El primero en identificar esta paradoja fue Colin McLaurin, en 1720. En 1750, Cramer la replantea [1].
En 1750, dos obras importantes para la historia de los espacios vectoriales fueron pu-blicadas. La primera « Introducción al análisis de las curvas algebraicas » por Gabriel Cramer, obra en la que los fundamentos para el desarrollo de la teoría de los determinantes han sido propuestos; y « Sobre una contradicción aparente en la doctrina de las líneas curvas » de Leon-hard Euler que está ligado a las curvas algebraicas y a la paradoja de Cramer. Así, Euler iden-tificó la naturaleza del problema [1].
Después de haber analizado atentamente la situación, Euler explicó que en ciertos casos la proposición (2) puede ser falsa ya que n ecuaciones no son suficientes para determinar $n$ incógnitas. Él explica lo que hoy se conoce bajo el nombre de sistema indeterminado de ecuaciones lineales, es decir, sistemas de curvas algebraicas que no tienen solución porque las ecuaciones son dependientes unas de otras.
Como el objetivo de Euler era resolver los sistemas lineales por sustitución y elimina-ción, él estuvo entre los primeros en demostrar la importancia de la dependencia lineal. Sus ideas sirvieron de base para el enfoque de dependencia, sin embargo, éstas fueron eclipsadas por el trabajo de Cramer [1].
En 1770, él estudia los cuadrados de números similares en cuadrados mágicos. Euler fue capaz de caracterizar las transformaciones ortogonales para $n=2 y 3$. Durante su lógica de razonamiento puramente algebraico, Euler fue capaz de generalizar las soluciones para todo valor de $n$, no limitandose a 3. Esto, al no poder representarse en la geometría, era necesario imaginar un espacio con dimensiones superiores a 3 [1].
El concepto de la dependencia de sistemas de ecuaciones lineales fue después ligado a la anulación del determinante de un sistema, y de la idea de determinar el número máximo de soluciones de un sistema, es decir, el « menor » (subdeterminante) [1].
En 1861, Henry J. Smith publicó un artículo que examinó esta idea de manera teórica pero sin encontrar soluciones a los sistemas de ecuaciones aunque estudiando los fundamentos teóricos del problema.
BAUMGART J. K. História da Álgebra (Accede en enero de 2010).
[1] História da Álgebra Linear (Accede en enero de 2010).
Grassmann Hermann Günther (alemán – 15 abril 1809 en Stettin – 26 de septiembre 1877 en Stettin) es profesor de matemáticas en Stettin, físico e indianista.Mientras estudiaba el fenómeno de las mareas, fue conducido a desarrollar el cálculo vectorial. Él establece los fundamentos de la teoría de los espacios vectoriales y del álgebra lineal. Sus trabajos en su época no fueron apreciados a la altura de su calidad. Carl Ludwig Conrad, teniendo que leer un ensayo remarcablemente largo de este matemático, termina la lectura en cuatro días (del 26 de abril al 1 de mayo de 1840). Él, por tanto, se pierde comple-tamente la importancia fundamental de este trabajo.
Grassmann Hermann Günther publica una parte de sus resultados en 1844 en un trata-do titulado « Teoría de las magnitudes extensivas » (completado en 1863).A él debemos las primeras nociones :
- de independencia lineal,
- de la suma de los subespacios,
- de producto lineal correspondiente al producto escalar actual,
- de producto exterior, que se convertirá, en dimensión 3, con Gibbs y Clifford, nuestro producto vectorial usual,
- el teorema de las dimensiones que lleva su nombre :\[Dim\left(F+G \right)=Dim\left(F \right)+Dim\left(G \right)-Dim\left(F\cap G \right)\].
En la misma época el irlandés Hamilton introducía el concepto moderno de vector. Peano definía de manera axiomática y más clara el concepto de espacio vectorial sobre un campo escalar.