- La familia $\{v_1,v_2,\ldots,v_p\}$ es generadora de $E$ si y solamente si $E=Vect(\{v_1,v_2,\ldots,v_p\})$.
- No es fácil, en general, mostrar directamente a través de la definición que una familia es o no generadora. Veremos rápidamente otros métodos aparte de la definición para responder esta pregunta.
- $E=\mathbb{R}_2[X]$. Todo elemento de $E$ se escribe en la forma : $P=a_0+a_1X+a_2X^2$. Entonces, $P$ es una combinación lineal de $1$, $X$ y $X^2$. Entonces, la familia $\{1,X,X^2\}$ es una familia generadora de $E$.
- $E=\mathbb{R}^2$. Todo elemento $(a,b)$ de $E$ es escrito $a(1,0)+b(0,1)$. Asi, la familia $\{(1,0), (0,1)\}$ es una familia generadora de $E$.
Procedamos por la doble inclusión.
Vamos a demostrar la primera inclusión : $F+G\subset Vect(\{u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_q\})$.Sea $w$ un vector de $F+G$. Si existe $w_F$ elemento de $F$ y $w_G$ elemento de $G$ tal que $w=w_F+w_G$.O, como $w_F$ es elemento de $F$, este vector es una combinación lineal de $u_1,u_2,\ldots,u_p$. Del mismo modo, $w_G$ es una combinación lineal de $v_1,v_2,\ldots,v_q$.Así, $w$ es una combinación lineal de $u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_q$ y entonces $w$ es elemento de $Vect(\{u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_q\})$.
Mostremos la inclusión recíproca $Vect(\{u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_q\})\subset F+G$.Sea $w$ un elemento de $Vect(\{u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_q\})$.$\exists {(\alpha_i)}_{i=1,\ldots,p}\in \mathbb{K}^p,\ \exists {( \beta_i )}_{i=1,\ldots,q}\in\mathbb{K}^q,\ w=\sum\limits_{i=1}^{p}{\alpha_iu_i}+\sum\limits_{i=1}^{q}{\beta_iv_i}$.O, $\sum\limits_{i=1}^{p}{\alpha_iu_i}$ es una combinación lineal de vectores de $F$ por lo que este vector es un elemento de $F$.Del mismo modo, $\sum\limits_{i=1}^{q}{\beta_iv_i}$ es elemento de $G$.Por lo tanto, $x$ es elemento de $F+G$. De ahí el resultado.
El teorema siguiente es muy importante. Vamos a obtener las bases teóricas y prácticas.
Sea $F=\{v_1,v_2,\ldots,v_p\}=\{v_i\vert i=1,\ldots,p\}$ una familia generadora de $E$.Como $E$ es distinto de $\{0_E\}$, existe al menos un vector no nulo en esta familia .Si la familia $F$ es libre, entonces podemos considerar $F$ como una familia extraídaente independiente y generadora de $E$.De lo contrario, la familia $F$ es linealmente dependiente.Hemos visto que entonces al menos uno de estos vectores es una combinación lineal de los otros vectores.
Por ejemplo, $\exists {(\alpha_j)}_{j=1,\ldots,p-1}\in \mathbb{K}^{p-1},\ v_p=\sum\limits_{j=1}^{p-1}\alpha_jv_j$.Mostremos que la famillia $F_1=F\backslash\{v_p\}=\{v_1,v_2,\ldots,v_{p-1}\}=\{v_i\vert i=1,\ldots,p\}$ todavía generadora de $E$.Sea $u$ un vector de $E$.Como $F=\{v_1,v_2,\ldots,v_p\}$ es una familia generadora de $E$ : $\exists{(\beta_i)}_{i=1,\ldots,p}\in \mathbb{K}^p,\ u=\sum\limits_{i=1}^{p}\beta_iv_i$.Obtenemos : $u=\sum\limits_{i=1}^{p-1}{\beta_iv_i}+\beta_Pv_p=\sum\limits_{i=1}^{p-1}\beta_iv_i+\beta_P\sum\limits_{j=1}^{p-1}\alpha_jv_j=\sum\limits_{i=1}^{p-1}(\beta_i+\beta_P\alpha_i)v_i$.De donde se obtiene el resultado.
Por lo tanto, $F_1$ es generadora. Dos casos se presentan :
- Si $F_1$ es libre, hemos extraído una familia linealmente independiente y generadora.
- De lo contrario, nosotros recomencemos partir de $F_1$ el proceso aquí descrito. Podemos extraer de esta familia una subfamilia (con al menos un vector ) que siga siendo generadora.Si esta nueva subfamilia es linealmente independiente, nos detenemos. Si no, extraemos de nuevo una subfamilia que siga siendo generadora.Después de un máximo $(p-1)$ pasos, obtenemos una subfamilia linealmente independiente y generadora.
De ahí el resultado.