Se dice que dos proposiciones $A$ y $B$ son equivalentes cuando la proposición condicional si $A$ implica $B$ y su recíproca si $B$ implica $A$ son ambos ambas verdaderas. Entonces podemos escribir $A$ si y solamente si $B$ o $A \iff B$ que dice $A$ es equivalente a $B$.
Dos proposiciones son equivalentes si son al mismo tiempo falsas o verdaderas.
- La proposición « si ($x=1$ o $x=-1$) implica $(x^2=1)$ » y su reciproca « si $(x^2=1)$ implica ($x=1$ o $x=-1$) » son verdaderas. Podemos decir « $(x^2=1)$ si y solamente si ($x=1$ o $x=-1$) ».
- Considere tres puntos $A$, $B$ et $C$ distintos. La proposición « (el triángulo $ABC$ es triángulo rectángulo en $A$) ⇔ (el punto $A$ pertenece al círculo de diametro $[BC]$) » es cierta porque las dos proposiciones son verdaderas « si el triángulo $ABC$ es triángulo rectángulo en $A$ entonces $A$ pertenece a un círculo de diametro $[BC]$ » y « si $A$ pertenece a un círculo de diametro $[BC]$ entonces el triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ » son verdaderas.
Cuando dos proposiciones $A$ y $B$ son equivalentes, también podemos decir:
- Para que $A$ sea cierta, es necesario y suficientestrong> que $B$ sea verdadera (y al contrario )
- $B$ es una condición necesariastrong> y suficiente para $A$ (y al contrario).
Continuando con el ejemplo anterior 2, también podemos escribir:
- Para que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en $A$, es necesario y suficiente que $A$ pertenezca a un círculo de diametro $[BC]$.
- Que el triángulo sea triangulo rectángulo $ABC$ sea triángulo rectángulo en $A$ es una condición necesaria y suficiente para que el punto $A$ pertenezca a un círculo de diametro $[BC]$.
Cuando existe una propiedad equivalente a la definición de un objeto matemático, decimos que esta propiedad caracteriza al objeto en cuestión. Se llama propiedad característica.
La proposición « el punto $K$ es la mitad del segmento $[AB]$ si y solamente si $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$ » es verdadera. Se dice que la propiedad « $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$ » caracteriza la mitad $K$ de $[AB]$.