Capítulo 2Razonamiento por recurrencia

Consideramos $P(n)$ la preposición:: $\displaystyle{S_n=\frac{n(n+1)}{2}}$.

1. Verificamos que $P(0)$ es verdad.
2. Sea $k$ un entero natural. Suponemos $P(k)$ verdad, es decir:\[\sum\limits_{i=0}^{k}{i}=0+1+2+3+\ldots+k=\frac{k(k+1)}{2}\quad\text{(hipótesis de recurrencia)}\]Mostramos que esta propiedad es todavía verdad para el rango $(k+1)$.\[\begin{align*}\sum\limits_{i=0}^{k+1}{i}&=0+1+2+3+\ldots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1) \\&=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\end{align*}\]Entonces $P(k+1)$ es verdad.
3. $P(n)$ es entonces verdad para todo entero natural, es decir:
   \[\text{Para cualquier número natural, }0+1+2+3+\ldots+n=\sum\limits_{i=0}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}.\]

• 1. Verificamos que $R(0)$ es verdadera: $3^0-1=0$ y $3$ divide $0$.
  2. Sea $k$ un entero natural. Suponemos $R(k)$ verdadera, es decir:\[3\text{ divide }4^k-1\quad\text{(hipótesis de recurrencia)}\]Entonces existe un entero $p$ de manera que $4^k-1=3p$.
     Mostramos que esta propiedad es todavía verdad para el rango $(k+1)$.\[\begin{align*}4^{k+1}-1&=4(4^k)-1=4(3p+1)-1=12p+4-1=12p+3 \\&=3(4p+1).\end{align*}\]Como $4p+1$ es un entero natural, deducimos que $3$ divide $4{k+1}-1$ y entonces $R(k+1)$ es verdad.
  3. $R(n)$ es entonces verdad para todo entero natural, es decir:
     \[\text{Para cualquier número natural, }3\text{ divide }4^n-1.\]
• Mostramos que $Q(n)$ es hereditaria.
  Sea $k$ un entero natural. Suponemos $Q(k)$ verdadera, es decir:\[3\text{ divide }4^k+1\quad\text{(hipótesis de recurrencia)}\]Entonces, existe un entero $p$ tal que $4^k+1=3p$
  Mostraremos que esta propiedad es todavía verdad para el rango $(k+1)$.\[\begin{align*}4^{k+1}+1&=4(4^k)+1=4(3p-1)+1=12p-4+1=12p-3 \\&=3(4p-1).\end{align*}\]Como $4p-1$ es un enero, deducimos que $3$ divide $4^{k+1}+1$ y entonces $Q(k+1)$ es verdad.
  Mostramos que $Q(n)$ es una propiedad hereditaria.
• $Q(0)$ es la propiedad: $3\text{ divide }4^0+1$, es decir $3$ divide $2$. Propiedad falsa…
  Aquí nos damos cuenta de la importancia de verificar la inicialización de la propiedad.

Establecemos $P(n)$ la preposición:\[\sum\limits_{i=0}^{n}{i^3}=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}.\]

1. Verificamos que $P(0)$ es verdad.
   Aquí, $\displaystyle{\sum\limits_{i=0}^{0}{i^3}=0}$ y $\displaystyle{\frac{0^2{(0+1)}^2}{4}=0}$. Obtenemos así, $\displaystyle{\sum\limits_{i=0}^{0}{i^3}=\frac{0^2(0+1)^2}{4}}$.
2. Sea $k$ un entero natural. Suponemos $P(k)$ verdad, es decir:\[\sum\limits_{i=0}^{k}{i^3}=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}\quad\text{(hipótesis de recurrencia)}\]Mostramos que esta propiedad es todavía verdad para el rango $(k+1)$.\[\sum\limits_{i=0}^{k+1}{i^3}=\sum\limits_{i=0}^{k}{i^3}+k^3=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}+k^3=\frac{{(k+1)}^2{(k+2)}^2}{4}\]Entonces $P(k+1)$ es verdad.
3. $P(n)$ es entonces verdad para todo entero natural, es decir:
   \[\text{Para cualquier número natural, }\sum\limits_{i=0}^{n}{i^3}=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}.\]

Establecemos $P(n)$ la preposición: $2^n\ge n^2$.

1. Verificamos que $P(4)$ es verdad: $24\ge 42$.
2. Sea $k$ un entero natural. Suponemos $P(k)$ verdad, es decir:\[2^k\ge k^2\quad\text{(hipótesis de recurrencia)}\]Mostramos que esta propiedad es todavía verdad para el rango $(k+1)$.
   \[2^{k+1}=2\times 2^k\ge 2k^2.\]Donde, $2k^2\ge (k+1)^2$. Entonces, $2{k+1}\ge (k+1)^2$ y $P(k+1)$ es verdad.
3. $P(n)$ es entonces verdad para todo entero natural superior (o egal) a $4$, es decir:\[\text{Para cualquier número natural supérieur (o egal) a $4$, }2^n\ge n^2.\]

Establecemos $P(n)$ la preposición: $f^{(2n)}(x)=(-4)^n\sin(2x)$.

1. Verificamos que $P(0)$ es verdad.\[f^{(0)}(x)=\sin(2x)\text{ y }(-4)^0\sin(2x)=\sin(2x).\]Entonces, tenemos: $f^{(0)}(x)=(-4)^0\sin(2x)$.
2. Sea $k$ un entero natural. Suponemos $P(k)$ verdad, es decir:\[f^{(2k)}(x)=(-4)^k\sin(2x)\quad\text{(hipótesis de recurrencia)}\]Mostramos que esta propiedad es todavía verdad para el rango $(k+1)$.\[\eqalign{(f)^{\bigl(2(k+1)\bigr)}(x)&=\left((f)^{(2k)}\right)^{\prime\prime}(x)=\left((-4)^k\sin(2x) \right)^{\prime\prime}\cr&=(-4)^k 2\bigl(\cos(2x)\bigr)’=(-4)^{k+1}\sin(2x).}\]Entonces $P(k+1)$ es verdad.
3. $P(n)$ es entonces verdad para todo entero natural, es decir:
   \[\text{Para cualquier número natural, }f^{(2n)}(x)=(-4)^n\sin(2x).\]

Establecemos $P(n)$ la preposición: $n^2+n+2$ es un número par, es decir:\[\exists i\in \N,\ n^2+n+2=2i\]

1. Verificamos que $P(0)$ es verdad: $0^2+0+2=2\times 1$.
2. Sea $k$ un entero natural. Suponemos $P(k)$ verdad, es decir:\[\exists i\in \N,\ k^2+k+2=2i\quad\text{(hipótesis de recurrencia)}\]Mostramos que esta propiedad es todavía verdad para el rango $(k+1)$.\[\begin{align*}(k+1)^2+(k+1)+2&=k^2+2k+1+k+1+2 \\&=(k^2+k+2)+2k+2 \\&=2i+2(k+1) \\&=2(i+k+1).\end{align*}\]Entonces $P(k+1)$ es verdad.
3. $P(n)$ es entonces verdad para todo entero natural, es decir:
   \[\text{Para cualquier número natural, }n^2+n+2\text{ es un número par}.\]