El objetivo principal del módulo es una generalización del cálculo vectorial, la geometría de vectores. Partiendo de la definición usual de un vector, en el sentido de longitud, sentido y dirección.
¿ Cuales son las operaciones « simples » que podemos realizar con vectores en el marco de geometría vectorial ?
- Suma de dos vectores Véase la animación ;
- Producto de un vector, por un número real Véase la animación.
Aquí están los propiedades de la suma :
- La suma es cerrada ;
- La suma es asociativa$\forall (\vec u,\vec v,\vec w),\ (\vec u+\vec v)+\vec w=\vec u+(\vec v+\vec w)$ ;
- Existe un vector neutro$\forall \vec u,\ \vec u+\vec 0=\vec 0+\vec u=\vec u$., noté $\vec 0$ ;
- Para cualquier vector $\vec u$ existe un vector opuesto (inverso aditivo)$\forall \vec u,\ \vec u+(-\vec u)=(-\vec u)+\vec u=\vec 0$., noté $-\vec u$ ;
- La suma es conmutativa$\forall (\vec u,\vec v),\ \vec u+\vec v=\vec v+\vec u$..
Aquí están los propiedades del producto por un escalar (se denota por $E$ el espacio vectorial) :
- $\forall(k_1,k_2)\in \R^2,\ \forall \vec u\in E,\ (k_1+k_2)\times\vec u=k_1\times\vec u+k_2\times\vec u$ ;
- $\forall k\in \R,\ \forall (\vec u_1,\vec u_2)\in E^2,\ k\times(\vec u_1+\vec u_2)=k\times\vec u_1+k\times\vec u_2$ ;
- $\forall(k_1,k_2)\in \R^2,\ \forall u\in E,\ k_1\times(k_2\times \vec u)=(k_1k_2)\times\vec u$ ;
- $\forall u\in E,\ 1\times\vec u=\vec u$.
Otras propiedades también pueden ser consideradas. Usaremos las definidas anteriormente y generalicemos algunas, esto nos da la siguiente definición
Notación
- En este capítulo, notaremos $\K$ para designar el conjunto de reales $\R$ o el conjunto des complejos $\C$.
- No se denotará ya a los vectores en la forma $\vec u$ (excepto cuando se trata de vectores de la geometría vetorial). En efecto, como veremos, un vector puede ser un polinomio, una sucesión, una función, etc. Denoteremos entonces a los vectores en función de su naturaleza.
Definición
Un espacio vectorial sobre $\K$ (o $\K$-espacio vectorial) es un conjunto no vacío E provisto con una operación interna $\oplus$ (es decir una aplicación de $\K\times E$ en $E$) y una operación externa $\bullet$ (es decir una aplicación de elementos de $E$, da elementos de $E$) verificando :
- $\boxplus$ es una ley asociativa, es decir \[\forall (u,v,w)\in E^3,\ \ (u\boxplus v)\boxplus w=u\boxplus(v\boxplus w)\]
- $\boxplus$ admite un elemento neutro (en general denotado $0_E$), es decir \[\forall u\in E,\ u\boxplus 0_E=0_E\boxplus u=u\]
- Todo elemento de $E$ tiene un elemento opuesto, de acuerdo con la definición es decir \[\forall u\in E,\ \exists (-u)\in E,\ u\boxplus(-u)=(-u)\boxplus u=0_E\]
- $\boxplus$ es una ley conmutativa, es decir \[\forall(u,v)\in E^2,\ u\boxplus v=v\boxplus u\]
- $\forall(k_1,k_2)\in\K^2,\ \forall u\in E,\ (k_1\boxplus k_2)\bullet u=(k_1\bullet u)\boxplus(k_2\bullet u)$
- $\forall k\in \K,\ \forall(u_1,u_2)\in E^2,\ k\bullet(u_1\boxplus u_2)=(k\bullet u_1)\boxplus (k\bullet u_2)$
- $\forall (k_1,k_2)\in \K^2,\ \forall u\in E,\ k_1\bullet (k_2\bullet u)=(k_1.k_2)\bullet u$
- $\forall u\in E,\ 1\bullet u=u$
Se denota como $(E,\boxplus,\bullet)$, a tal espacio vectorial. Los elementos de $\K$ son llamados escalares, y los elementos de $E$ son llamados vectores.
Nota
- Un conjunto que satisfaga los cuatro primeros puntos se llama grupo conmutativo.
- Un espacio vectorial siempre contiene al $0_E$ por lo que nunca es vacío.
- En cuanto a la regla « $1\bullet u=u$ », es importante darse cuenta de que es algo natural $1$ es el neutro del producto de $E$, no hay ninguna razón para adoptar una actitud comparable con el producto externo. Es sólo el resultado de un producto por un escalar que es dado por los axiomas.
- Como trabajaremos con espacios vectoriales «clásicos» (por ejemplo, el conjunto de polinomios, funciones, secuencias, etc.), las leyes internas y externas serán de-notadas con las denotaciones usuales. Por ejemplo, para los polinomios, $P+2Q$ y no $P\boxplus 2\bullet Q$.
Ejemplo
- $\R$ provisto de las operaciones usuales es un espacio vectorial.
- Sea $\R^2=\R\times\R=\left\{(x,y) \vert x \in \R; y \in \R\right\}$.Consideremos las dos operaciones definidas por :\[(x,y)\boxplus(x’,y’)=(x+x’,y+y’)\]\[\lambda\bullet(x,y)=(\lambda x,\lambda y)\]Entonces $\R^2$ provisto con estas dos operaciones, es un espacio vectorial.De manera similar, $\R^n$ provisto de las leyes usuales es un espacio vectorial.
- El conjunto $A(\R,\R)$ aplicaciones de $\R$ en $\R$ con las operaciones provistas de $\boxplus$ y $\bullet$ define un espacio vectorial sobre $\R$ :\[\forall(f,g)\in A(\R,\R)^2,\ \forall x\in \R,\ (f\boxplus g)(x)=f(x)+g(x)\]\[\forall f\in A(\R,\R),\ \forall \lambda \in \R,\ \forall x\in \R,\ (\lambda \bullet f)(x)=\lambda f(x)\](Elemento neutro : ${0_{A(\R,\R)}}:x\mapsto 0$)
- Es fácil verificar que los conjuntos siguientes provistos de leyes « clásicas » son espacios vectoriales sobre $\R$ :
- El conjunto de sucesiones reales,
- El conjunto de polinomios $\R[X]$,
- El conjunto de polinomios de grado menor o igual a $n$, $\R_n[X]$.
Nota
De hecho, la definición de espacio vectorial propuesta anteriormente :
- No es la definición más general. Para el conjunto de los escalares, podemos escoger un campo. Esta parte no se considerara en este módulo.
- Se utiliza sólo para este tipo de conjuntos. Otros criterios se utilizan para mostrar el resultado de que un conjunto dado es un espacio vectorial.
Propriedad
Las siguientes propiedades, resultan directamente de los axiomas :
- $\forall u\in E,\ 0\bullet u=0_E$ donde $0$ es el elemento neutro de $(\K,+)$ y $0_E$ es el neutro de $(E,\boxplus)$.
- $\forall k\in\K, k\bullet 0_E=0_E$.
- $(-1)\bullet u=-u$ donde $-1$ es el simétrico de $1$ en $(\K,+)$ y $-u$ es el simétrico de $u$ en $(E,\boxplus)$.
- $\forall u\in E, \forall k\in \K, k\bullet u=0_E \implies k= 0$ ou $u=0_E$.
Véase la prueba
- $1\bullet u=u=(1+0)\bullet u=1\bullet u\boxplus 0\bullet u=u\boxplus 0\bullet u\implies u=u\boxplus 0\bullet u\implies 0\bullet u=0_E$.
- $k\bullet 0_E=k\bullet(0\times u)=(k.0)\bullet u=0\bullet u=0_E$.
- $0_E=0\bullet u=[1 + (-1)] \bullet u=u\boxplus (-1) \bullet u \implies (-1) \bullet u=-u$.
- Si $k\bullet u=0_E$ y si $k\ne 0$, entonces $\dfrac1k\bullet(k\bullet u)=\dfrac1k\bullet 0_E \implies 1\bullet u=0_E \implies u=0_E$.