La contrapositiva o contrarrecíproca
Definición
La proposición si $A$ implica $B$ tiene una contrapositiva, la proposición si (no $B$) implica (no $A$).
Propriedad
Una proposición condicional donde ella y su contrarrecíproco son verdaderas o falsas al mismo tiempo. Se dice que son equivalentes.
Ejemplo
- La contrarrecíproca del teorema de Pítagoras es « si en triángulo de lados $ABC$, $AB^2+BC^2\ne AC^2$ entonces el triángulo $ABC$ no es rectángulo en $B$ ». Se usa para mostrar que un triángulo no es triángulo rectángulo.
- Sea un punto $M(x_M,y_M)$ un punto de un plano. La proposicion « si $y_M=3x_M+2$ entonces el punto $M$ pertenece a la recta, dada por la ecuación $y=3x+2$ » su contrareciproca « si $M$ no pertenece a la recta dada por la ecuación $y=3x+2$ entonces $y_M\ne 3x_M+2$ ».
Vocabulario
Cuando la propiedad « si $A$ implica $B$ » es verdadera , su contrarreíproca « si no $B$ implica no $A$ » es también verdadera. Se interpreta diciendo que $B$ es una condición necesaria para $A$ como si $B$ no fuera verdadera, entonces $A$ lo es. También se puede decir $B$ para $A$.
Ejemplo
- Como « $(x=-2)\implies (x^2=4)$ » es verdadera, se puede decir que « $x^2=4$ es una condición necesaria para tener $x=-2$ ». Podemos decir « debe ser que $x^2=4$ para que $x=-2$ ».
- $ABCD$ debe ser un paralelogramo para que $ABCD$ si un rombo.
La recíproca
Definición
La proposición conditional si $A$ implica $B$ tiene su recíproca la proposición conditional si $B$ implica $A$.
Ejemplo
- La implicación « si $x^2\geq 4$ entonces $x\geq 2$ » es falsa y su recíproca « si $x\geq 2$ entonces $x^2\geq 4$ » es verdadera.
- La implicación « si $x=1$ entonces $x^2=1$ » es verdadera, pero su recíproca « si $x^2=1$ entonces $x=1$ » es falsa porque $x=-1$, también cumple la propiedad.
- Considere el triángulo $ABC$. La implicación « si el triángulo $ABC$ es triángulo rectángulo en $B$ entonces $AB^2+BC^2=AC^2$ » entonces su recíproca también es cierta (El teorema de Pitagoras es su recíproca).