Capítulo 16Espacios vectoriales

1. Mostremos que toda familia linealmente independiente de $E$ posee a lo más $n$ elementos.Sea $\mathscr{F}$ una familia linealmente independiente compuesta de $p$ vectores. Consideremos $F=Vect(\mathscr{F})$.$\mathscr{F}$ es una familia linealmente independiente y generadora de $F$, Por lo tanto se trata de una base de $F$. Por lo que, $\Dim(F)=p$.O, $F$ es un subespacio vectorial de $E$, a partir de lo cual $\Dim(F)\le \Dim(E)$, es decir $p\le n$.
2. Mostremos que toda familia generadora de $E$ posee al menos $n$ elementos. Sea $\mathscr{F}$ una familia generadora. Podemos extraer de esta familia una familia linealmente independiente y generadora, es decir, una base.Esta base se compone de $n$ elementos. Por lo tanto, el número de vectores de $\mathscr{F}$ es superior a $n$.
3. Mostremos que toda familia linealmente independiente de $E$ de $n$ elementos es una base de $E$.Sea $\mathscr{F}$ una familia linealmente independiente compuesta de $n$ vectores. Sea $v$ un vector de $E$. Mostremos que $v$ es una combinación lineal de vectores de $\mathscr{F}$, razonamdo por reducción al absurdo. Si $v$ no es una combinación lineal de vectores de $\mathscr{F}$, entonces se puede mostrar que la familia $\mathscr{F}\bigcup \{v\}$ es linealmente independiente, o tiene $(n+1)$ elementos. De acuerdo con el punto 1, esta es una familia relacionada. De aquí el resultado.1
4. Mostremos que toda familia generadora de $E$ de $n$ elementos es una base de $E$.Sea $\mathscr{F}$ una familia generadora compuesta de $n$ vectores. Podemos extraer de esta familia, una familia linealmente independiente y genera-dara, es decir una base. Esta base se compone de $n$ elementos. Así, esta familia se extrajo es igual a $\mathscr{F}$ y $\mathscr{F}$ es así una base.

Sea $u$ un vector de $E$.Como $B$ es una base, $B$ es una familia generadora. Por lo tanto $\exists (x_1,\ldots,x_n)\in \K^n \vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ie_i\ (1)$

Mostremos la unicidad.Sea $(y_1,\ldots,y_n)\in \K^n \vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}{y_ie_i}\ (2)$.Efectuando la diferencia entre las igualdades $(1)$ y $(2)$, obtenemos : $\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-y_i)e_i}=0_E\ (3)$.Como $B$ es una base, $B$ es una familia linealmente independiente.Deducimos gracias a la igualdad $(3)$ : $\forall i=1,\ldots,n,\ x_i=y_i$.La unicidad queda así demostrada.

Sea $S=\{u_1,\ldots,u_p\}$ una familia linealmente independiente de $p$ vectores $(p\le n)$.

• Si $p=n$, $S$ es una familia linealmente independiente de $n$ vectores. Por lo tanto, $S$ es una base. Nosotros hemos «completado» $S$ con $(n-n)=0$ vectores para obtener una base.
• Si $p\lt n$, sea $F=Vect(S)$. $S$ es una familia linealmente independiente y generadora de $F$, así que hay una base de el subespacio vectorial. Por lo que $\Dim(F)\lt \Dim(E)$. Por lo tanto, $F$ es estrictamente incluido en $E$.

Sea $v_1$ un vector perteneciente $E$ y que no pertene a $F$. Pongamos $S_1= S\bigcup \{v_1\}$.Mostremos que la familia $S_1$ es linealmente independiente.\[\sum\limits_{i=1}^{p}\alpha_iu_i+\beta_1v_1=0_E\ (1)\]

• 1er caso : $\beta_1=0$Entonces $(1) \implies \sum\limits_{i=1}^{p}\alpha_iu_i=0_E$.O, como la familia $S$ es libre, nosotros deducimos que $\forall i=1,\ldots,p,\ \alpha_i=0$ y así la familia $S_1$ es linealmente independiente.
• 2ndo caso : ${\beta_1}\ne 0$.Entonces $(1) \implies v_1=-\frac1{\beta_1}\sum\limits_{i=1}^{p}\alpha_iu_i$ es por lo tanto $v_1$ es elemento de $F$ como combinación lineal de vectores de $F$. Lo que contradice la hipótesis : $v_1$ es un vector que pertenece a $E$ y que no pertenece a $F$.

Hemos demostrado que $S_1$ es linealmente independiente. $S_1$ a $(p+1)$ vectores. Repetimos estas operaciones hasta obtener una familia linealmente independiente de $n$ vectores. Esta familia será por lo tanto una base de $E$. Hemos entonces completado la familia $S$ con $(n-p)$ vectores. De ahí el resultado.

1. Si $F\bigcap G=\{0_E\}$.
   Sea ${(f_i)}_{i=1,\ldots,n}$ es una base de $F$ y ${(g_j)}_{j=1,\ldots,m}$ es una base de «G».Entonces, $F+G=Vect(\{f_1,\ldots,fn,g_1,\ldots,gm\})$.

   Mostramos que $\{f_1,\ldots,f_n,g_1,\ldots,g_m\}$ es una familia linealmente independiente.
   $\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _if_i+\sum\limits_{i=1}^m\beta _ig_i=0_E\implies \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _if_i=-\sum\limits_{i=1}^{m}\beta _ig_i\in F\bigcap G$. Por lo tanto, $\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _if_i=-\sum\limits_{i=1}^{m}\beta _ig_i=0_E$.
   Se deduce que para $i=1,\ldots,n, \alpha_i=0$ y para $i=1,\ldots,m, \beta_i=0$. Por lo tanto se tiene el resultado.

2. Si $F\bigcap G\ne \{0_E\}$.
   Sean ${(e_i)}_{i=1,\ldots,n}$ una base de $F\bigcap G$, completada en una base $(e_1,\ldots,e_n,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_q)$de $F$ y $(e_1,\ldots,e_n,\nu_1,\ldots,\nu_p)$ de $G$. Sea $H$ el subespacio vectorial de $E$ de base $(\nu_1,\ldots,\nu_p)$.

   Mostremos que $F\bigcap H=\{0_E\}$ (para utilizar 1-).Sea $u$ elemento de $F\bigcap H$.$\exists (\alpha _i)_{i=1,\ldots,n}\in \K^n \exists (\beta _i)_{i=1,\ldots,q}\in \K^q\vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _ie_i+\sum\limits_{i=1}^{q}\beta _i\varepsilon _i\ (1)$ y $\exists (\gamma _i)_{i=1,\ldots,p}\vert u=\sum\limits_{i=1}^{p}\gamma _i\nu _i\ (2)$.Por lo tanto, $u$ es un elemento de $G$ (como combinación linal de elementos de $G$ por ejemplo) y de $F$. Por lo tanto, $\exists (\lambda _i)_{i=1,\ldots,n}\in \K^n\vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda _ie_i\ (3)$.Al igualar $(1)$ y $(3)$, se deduce : $\sum\limits_{i=1}^{n}(\alpha _i-\lambda _i)e_i+\sum\limits_{i=1}^{q}\beta _i\varepsilon _i=0_E$.Como $(e_1,\ldots,e_n,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_q)$ es una base de $F$ ( por lo tanto linealmente independiente), se tiene : para todo $i=1,\ldots,q,\ \beta_i=0$.$(1)$ se convierte $u=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _ie_i\ (4)$.Al igualar $(4)$ y $(2)$, deducimos : $\sum\limits_{i=1}^{p}\gamma _i\nu _i-\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _ie_i=0_E$.Como $(e_1,\ldots,e_n,\nu_1,\ldots,\nu_p)$ es una base de $G$ (por lo tanto linealmente independiente), se tiene : para todo $i=1,\ldots,n,\ \alpha_i=0$ y para todo $i=1,\ldots,p, \gamma_i=0$. Donc, $u=0_E$. Por lo tanto, $u=0_E$.

   Obtenemos $\Dim(F+H)=\Dim(F)+\Dim(H)$.O, $F+H=F+G$ (familia generadora igual).Por lo que, $\Dim(F+G)=n+q+p=(n+q)+(p+n)-n=\Dim(F)+\Dim(G)–\Dim(F\bigcap G)$.
   De ahí el resultado.

Mostrar que las propiedades 1 y 2 son equivalentes.

• Supongamos $E=F\oplus G$. Por lo tanto $E=F+G$ y $F\bigcap G=\{0_E\}$.Aplicando la fórmula de Grasmann : $\Dim(F+G)=\Dim(F)+\Dim(G)–\Dim(F\bigcap G)$.O, $F\bigcap G=\{0_E\}$ y por lo tanto $\Dim(F\bigcap G)=0$.Nosotros obtenemos $\Dim(F+G)=\Dim(F)+\Dim(G)$.La propiedad 2 esta así demostrada.
• Supongamos $E=F+G$ et $\Dim(E)=\Dim(F)+\Dim(G)$. Para obtener la propiedad 1, es suficiente mostrar que $F\bigcap G=\{0_E\}$.Apliquemos la fórmula de Grasmann : $\Dim(F+G)=\Dim(F)+\Dim(G)–\Dim(F\bigcap G)$.Nosotros deducimos $\Dim(F\bigcap G)=0$ et donc $F\bigcap G=\{0_E\}$.Hemos demostrado la equivalencia entre las propiedades 1 y 2.La demostración de la equivalencia de las propiedades 1 y 3 se obtiene de manera similar (a traves de la fórmula de Grasmann).

De ahí el resultado.