Antes de comenzarNociones y actividades preliminares

Notación

$n!$ se lee ““factorial $n$” y describe el producto de los enteros naturales desde $1$ hasta $n$:\[n!=\prod\limits_{k=1}^{n}{k}=1\times 2\times 3\times\ldots\times n\]

Actividad

Sea $n$ un entero natural y $A_n=10n-1$.Calculamos los primeros números de esta familia:\[A_0=0,\;A_1=9,\;A_2=99,\;A_3=999,\;A_4=9999,\;\ldots\]Los cinco números que venimos de calcular son todos divisibles por $9$.

Pregunta: ¿Todo los números de la forma $(10n-1)$, con $n\in \N$, son divisibles por $9$?
Esta claro que la simple observación de lo que pasa en los cinco primeros, no es suficiente para concluir que es lo mismo para todos los otros. El hecho de que llueva cinco días consecutivos no implica que ¡lloverá todavía un sexto!

¿Cómo demostrar este resultado “correctamente”? Es el razonamiento por recurrencia que lo permitirá.

Actividad

Sea la función $f$ definida por $f(x)=\ln(x)$ con $x\gt 0$.
Calculamos las primeras derivadas de esta función:\[f'(x)=\frac{1}{x},\;f^{\prime\prime}(x)=\frac{-1}{x^2},\;f^{(3)}(x)=\frac{2}{x^3},\;f^{(4)}(x)=\frac{-6}{x^4},\;\ldots\]¿Permiten estas cuatro primeras derivadas de escribir la derivada de orden $n$ de la función $f$, siendo $n$ un entero natural no nulo?

Podemos encontrar una escritura común a las cuatro primeras derivadas:\[f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{x^n}\]Verificamos que remplazando $n$ por $1$, $2$, $3$ ou $4$, encontramos el buen resultado.
Decimos que venimos de hacer una conjeturaEn matemáticas, el concepto de conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha.
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura
, es decir que observando las primeras derivadas de $f$, le hemos encontrado una forma com. Incluso, es necesario de asegurarse de que esta hipótesis es una realidad…

¿Podemos utilizar directamente esta fórmula para calcular $f^{(10)}(x)$?
No, sin haber demostrado este resultado “correctamente”; es el razonamiento por recurrencia que lo permitirá.