Antes de comenzarIntroducción pedagógica

Objetivos

El objetivo de este modulo es de presentar un tipo de razonamiento llamado “razonamiento por recurrencia“, el cual es muy útil cuando queremos demostrar una propiedad que utiliza los enteros naturales. Mostraremos la fuerza y también la especificidad de este razonamiento.

Prerrequisitos

Recordamos que la notación $\N$ es el conjunto de enteros naturales.\[\N=\{0;1;2;3;4;\ldots\}\]Se trata de un conjunto infinito cuyo entero natural más pequeño es igual a $0$.

Todo entero no nulo n posee un precedente igual a $(n-1)$ (llamado también predecesor) y un siguiente igual a $(n+1)$ (llamado sucesor).
Esta propiedad es una propiedad remarcable de enteros naturales. En efecto, esta es falsa si trabajamos en otros conjuntos de números tales como los decimales ($\D$), los racionales($\Q$) o los reales ($\R$).

Estudiemos particularmente el caso de los números decimales: entre dos decimales distintos, existe una infinidad de decimales. Esto significa que un decimal no admite ni precedentes, nisucesores. Por ejemplo, el decimal $1{,}32$ se ubica entre $1{,}31$ y $1{,}33$. Pero entre $1{,}32$ y $1{,}33$ podemos introducir $1{,}325$ y así sucesivamente…

El conjunto de enteros naturales se representa fácilmente con la ayuda de una regla graduada.Algunos representan este conjunto con la ayuda de una escalera cuyo primerescalón es $0$ y donde todos los escalones están separadas por una distancia igual a $1$. Nosotros retomaremos esta imagen para explicar el razonamiento por recurrencia.
Esta propiedad muy particular de enteros naturales permite de asociarles, como nosotros veremos, el razonamiento por recurrencia. Pero será necesario ser cuidadoso en no generalizar a los otros conjuntos de números la misma técnica porque es imposible.

Crédits

  • Autor: Guy Athanaze (INSA Lyon)
  • Autor de la “Presentación histórica”: Paul Sablonnière (INSA y IRMAR de Rennes)