EjerciciosNivel 1

Ejercicio

Completa las siguientes frases con “es necesario” y/o “suficiente”:

  1. … que $x=2$ para que $x^2=4$.
  2. … que $\ln⁡ x=1$ para que $x=e$.
  3. … que la función $f$ sea creciente para que $f(3)\geq f(0)$.
  4. … que $\cos x=1$ para que $x=0$.
  5. … que $x^2=x$ para que $x=0$ ou $x=1$.
  1. Es sufficiente que $x=2$ para que $x^2=4$.
  2. Es necesario y suficiente que $\ln ⁡x=1$ para que $x=e$.
  3. Es suficiente que la fonction $f$ sea creciente para que $f(3)\geq f(0)$.
  4. Es necesario que $\cos ⁡x=1$ para que $x=0$.
  5. Es necesario y suficiente que $x^2=x$ para que $x=0$ ou $x=1$.
Ejercicio

$a$ y $b$ son dos números reales cualesquiera. Escribe el símbolo $\implies$, $\impliedby$ o $\iff$ decuado en cada uno de los siguientes casos:

  1. $a=b\;\ldots\;|a|=|b|$
  2. $|a|=|b|\;\ldots\;a^2=b^2$
  3. $ab\gt 0\;\ldots\;a\gt 0\text{ y }b\gt 0$
  4. $a+b=b\;\ldots\;a=0$
  5. $ab=0\;\ldots\;b=0$
  1. $a=b\implies |a|=|b|$
  2. $ab=0\impliedby b=0$
  3. $|a|=|b|\iff a^2=b^2$
  4. $ab\gt 0\impliedby a\gt 0\text{ y }b\gt 0$
  5. $a+b=b\iff a=0$
Ejercicio

Trabajamos en el espacio usual. La recta $D$ y el plano $P$ son fijos.
Las proposiciones siguientes son falsas o verdaderas?

    1. Si dos líneas rectas $d_1$ y $d_2$ son paralelas, la recta $D$ entonces $d_1$ y $d_2$ son paralelas.
    2. Si las dos líneas rectas $d_1$ y $d_2$ son paralelas al plano $P$ entonces $d_1$ y $d_2$ son paralelas.
    3. Si los dos planos $P_1$ y $P_2$ spueden tocar a la recta $D$ y no ser $P_1$ y $P_2$ son paralelas.
  1. Escribir la recíproca de cada una de las proposiciónes anteriores y si es verdadera o falsa.
    1. Verdadera. Hay un teorema básico de geometría que lo válida.
    2. Falso. Ellas podrían tocarse y ser distintas y no paralelas.
    3. Falso. Los dos planos $P_1$ y $P_2$ pueden intersectarse en $D$ y no confundirse.
    1. Si las dos rectas $d_1$ y $d_2$ son paralelas entonces $d_1$ y $d_2$ son paralelas a la recta $D$. Esto es falso por ejemplo tomando $D$ perpendicularmente a $d_1$ y $d_2$.La veracidad de una recíproca es independiente de la verdad de la implicación de origen. Todos los casos en la figura son posibles.
    2. Si las dos líneas $d_1$ y $d_2$ no son paralelas entonces $d_1$ o $d_2$ no es paralela al plano plan $P$. Es falso porque una implicación y su contraposición no son verdaderas y falsas al mismo tiempo, o la segunda implicación es falsa. También es conveniente tomar un contraejemplo: tomando dos rectas $d_1$ y $d_2$ que se intersectan y distintas del plano $P$.
    3. Si existen dos planos $P_1$ y $P_2$, cada una paralela a la línea $D$ pero no paralelas entre sí. Es cierta porque la implicación #3 es falsa.
Ejercicio
  1. En cada uno de estos casos existe una función $f$ définida en el intervalo $[-1,1]$ tal que:
    1. $f$ y su derivada sean continuas en $[-1,1]$.
    2. $f$ no sea continua ni su derivada en $[-1,1]$.
    3. $f$ es derivable en $[-1,1]$ pero no es continua en $[-1,1]$.
    4. $f$ es continua en $[-1,1]$ pero no es deivable en $[-1,1]$.
  2. Escriba la negación de cada una de las proposiciones anteriores.
    1. Si. La función $f:x\mapsto x$ es continua y su derivada tambiénen $[-1,1]$.
    2. Si. La función $f:\begin{cases}\hphantom{x\ne\;}0\mapsto 2 \\x\ne 0\mapsto x\end{cases}$ no es continua ni su derivada en $[-1,1]$.
    3. No si una función es derivable en $[-1,1]$ es necesariamente continua en $[-1,1]$.
    4. Si. La función $f:\mapsto|x|$ es continua pero no es derivable en $0$.
    1. $f$ no es continua o $f$ no es derivable en $[-1,1]$.
    2. $f$ es continua o $f$ es derivable en $[-1,1]$.
    3. $f$ no es derivable o $f$ es continua en $[-1,1]$.
    4. $f$ es derivable o $f$ no es continua en $[-1,1]$.
Ejercicio

Sean dos sucesiones $\bigl(u_n\bigr)$ y $\bigl(v_n\bigr)$. Las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas ? Justifficar.

  1. Si $\bigl(u_n\bigr)$ y $\bigl(v_n\bigr)$ divergen entonces $\bigl(u_n+v_n\bigr)$ diverge.
  2. Si $\bigl(u_n\bigr)$ converge a $0$ o si $\bigl(v_n\bigr)$ converge a $0$ entonces $\bigl(u_n v_n\bigr)$ converge a $0$.
  1. Falso porque toman $u_n=n$ y $v_n=-n$, son dos sucesiones divergentes y pero su suma $u_n+v_n=0$ que es el término general de una sucesión constante es convergente.
  2. Falso porque si tomamos $u_n=\dfrac{1}{n}$ y $v_n=n^2$, la sucesión $\bigl(u_n\bigr)$ converge a $0$ pero el producto $u_n v_n=n$ no converge a cero.
Ejercicio

Las ecuaciones $2\sin x=\sin(2x)$ y $\cos x=1$ son equivalentes?

$2 \sin x=\sin(2x)\iff 2\sin x=2\sin x\cos x$.
Pero no simpre podemos dividir cada término por $2\sin x$ que puede ser cero. Así que no hay equivalencia pero en la implicación $\cos x=1\implies 2\sin x=\sin(2x)$.

Ejercicio

Sea $f$ una función derivable en $\R$ y sea un números real $a$. Completa las siguientes oraciones por “condición necesaria” y / o “suficiente”:

  1. $f'(a)=0$ es una … para que $f$ admita un máximo en $a$.
  2. Que $f$ admeta un valor extremo en $a$ es una … para que $f'(a)=0$.
  3. Que $f$ sea una función decreciente es una … para que $f'(x)\leq 0$ para todo número real $x$.
  4. $f'(a)\gt 0$ es una … para que $f$ no admita un extremo en $a$.
  1. $f'(a)=0$ es una condición necesaria para que $f$ admita un máximo en $a$.
  2. $f$ admite un valor extremo en $a$ es una condición suficiente para que $f'(a)=0$.
  3. Que $f$ sea una función decreciente es una condición necesaria y suficiente para que $f'(x)\leq 0$ para todo número real $x$.
  4. $f'(a)\gt 0$ es una condición suficiente para que $f$ no tenga una valor extremo $a$.
Ejercicio

Consideremos la ecuación $ax^2+bx+c=0$. Determine una condición necesaria y suficiente para que $x=1$ sea solución de la ecuación.

Una condición necesaria para que $x=1$ sea solución de la ecuación es que $a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=0$. Es decir que $a+b+c=0$.
Esta condición es suficiente si $a+b+c=0$, entonces $a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=0$, significa que $x=1$ es solución de la ecuación $ax^2+bx+c=0$.