TeoríasCaracterización de una base en dimensión finita

Teorema

Sea $E$ un E-espacio vectorial de dimensión finita $n$.

  1. Toda familia linealmente independiente $E$ posee a lo más $n$ elementos.
  2. Toda familia generadora de $E$ posee por lo menos $n$ elementos.
  3. Toda familia linealmente independiente de $E$ de $n$ elementos es una base de $E$.
  4. Toda familia generadora de $E$ de $n$ elementos es una base de $E$.
  1. Mostremos que toda familia linealmente independiente de $E$ posee a lo más $n$ elementos.Sea $\mathscr{F}$ una familia linealmente independiente compuesta de $p$ vectores. Consideremos $F=Vect(\mathscr{F})$.$\mathscr{F}$ es una familia linealmente independiente y generadora de $F$, Por lo tanto se trata de una base de $F$. Por lo que, $\Dim(F)=p$.O, $F$ es un subespacio vectorial de $E$, a partir de lo cual $\Dim(F)\le \Dim(E)$, es decir $p\le n$.
  2. Mostremos que toda familia generadora de $E$ posee al menos $n$ elementos. Sea $\mathscr{F}$ una familia generadora. Podemos extraer de esta familia una familia linealmente independiente y generadora, es decir, una base.Esta base se compone de $n$ elementos. Por lo tanto, el número de vectores de $\mathscr{F}$ es superior a $n$.
  3. Mostremos que toda familia linealmente independiente de $E$ de $n$ elementos es una base de $E$.Sea $\mathscr{F}$ una familia linealmente independiente compuesta de $n$ vectores. Sea $v$ un vector de $E$. Mostremos que $v$ es una combinación lineal de vectores de $\mathscr{F}$, razonamdo por reducción al absurdo. Si $v$ no es una combinación lineal de vectores de $\mathscr{F}$, entonces se puede mostrar que la familia $\mathscr{F}\bigcup \{v\}$ es linealmente independiente, o tiene $(n+1)$ elementos. De acuerdo con el punto 1, esta es una familia relacionada. De aquí el resultado.1
  4. Mostremos que toda familia generadora de $E$ de $n$ elementos es una base de $E$.Sea $\mathscr{F}$ una familia generadora compuesta de $n$ vectores. Podemos extraer de esta familia, una familia linealmente independiente y genera-dara, es decir una base. Esta base se compone de $n$ elementos. Así, esta familia se extrajo es igual a $\mathscr{F}$ y $\mathscr{F}$ es así una base.

En la práctica, en los puntos 3 y 4 del teorema :

Sea $E$ un espacio vectorial de dimension $n$ y sea $\mathscr{F}$ una familia de vectores de $E$. Las propiedades siguientes son equivalentes :

  1. $\mathscr{F}$ es una base de $E$.
  2. $\mathscr{F}$ es una familia linealmente independiente de $n$ vectores.
  3. $\mathscr{F}$ es una familia generadora de $n$ vectores.
Teorema y definición

Sea $E$ un espacio vectorial de dimension finita $n$ y sea $B=(e_1,\ldots,e_n)$ una base de $E$.\[\forall u\in E,\ \exists !(x_1,\ldots,x_n)\in \K^n \vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ie_i\]$(x_1,\ldots,x_n)$ son las componentes de $u$ en la base $B$.

Sea $u$ un vector de $E$.Como $B$ es una base, $B$ es una familia generadora. Por lo tanto $\exists (x_1,\ldots,x_n)\in \K^n \vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ie_i\ (1)$

Mostremos la unicidad.Sea $(y_1,\ldots,y_n)\in \K^n \vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}{y_ie_i}\ (2)$.Efectuando la diferencia entre las igualdades $(1)$ y $(2)$, obtenemos : $\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-y_i)e_i}=0_E\ (3)$.Como $B$ es una base, $B$ es una familia linealmente independiente.Deducimos gracias a la igualdad $(3)$ : $\forall i=1,\ldots,n,\ x_i=y_i$.La unicidad queda así demostrada.

TeoremaTeorema de la base incompleta

Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ no nulo de base $B=(e_1,\ldots,e_n)$, y $S=\{u_1,\ldots,u_p\}$ una familia linealmente independiente de $p$ vectores $(p\le n)$.
$S$ puede completarse por $(n-p)$ vectores de la base $B$ para formar una base de $E$.

Sea $S=\{u_1,\ldots,u_p\}$ una familia linealmente independiente de $p$ vectores $(p\le n)$.

  • Si $p=n$, $S$ es una familia linealmente independiente de $n$ vectores. Por lo tanto, $S$ es una base. Nosotros hemos “completado” $S$ con $(n-n)=0$ vectores para obtener una base.
  • Si $p\lt n$, sea $F=Vect(S)$. $S$ es una familia linealmente independiente y generadora de $F$, así que hay una base de el subespacio vectorial. Por lo que $\Dim(F)\lt \Dim(E)$. Por lo tanto, $F$ es estrictamente incluido en $E$.

Sea $v_1$ un vector perteneciente $E$ y que no pertene a $F$. Pongamos $S_1= S\bigcup \{v_1\}$.Mostremos que la familia $S_1$ es linealmente independiente.\[\sum\limits_{i=1}^{p}\alpha_iu_i+\beta_1v_1=0_E\ (1)\]

  • 1er caso : $\beta_1=0$Entonces $(1) \implies \sum\limits_{i=1}^{p}\alpha_iu_i=0_E$.O, como la familia $S$ es libre, nosotros deducimos que $\forall i=1,\ldots,p,\ \alpha_i=0$ y así la familia $S_1$ es linealmente independiente.
  • 2ndo caso : ${\beta_1}\ne 0$.Entonces $(1) \implies v_1=-\frac1{\beta_1}\sum\limits_{i=1}^{p}\alpha_iu_i$ es por lo tanto $v_1$ es elemento de $F$ como combinación lineal de vectores de $F$. Lo que contradice la hipótesis : $v_1$ es un vector que pertenece a $E$ y que no pertenece a $F$.

Hemos demostrado que $S_1$ es linealmente independiente. $S_1$ a $(p+1)$ vectores. Repetimos estas operaciones hasta obtener una familia linealmente independiente de $n$ vectores. Esta familia será por lo tanto una base de $E$. Hemos entonces completado la familia $S$ con $(n-p)$ vectores. De ahí el resultado.

Sea $E=\R^4$ provisto de la base canónica $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Consideremos los vectores $w_1(1,2,0,0)$ y $w_2=(-1,1,0,0)$. $\{w_1,w_2\}$ es un sistema linealmente independiente. Complementos en una base $\R^4$.

$\{w_1,w_2,e_1\}$ esta linealmente dependiente.
$\{w_1,w_2,e_2\}$ esta linealmente dependiente.
$\{w_1,w_2,e_3\}$ es linealmente independiente.
$\{w_1,w_2,e_3,e_4\}$ es linealmente independiente, por lo que, es una base de $\R^4$.
Nota
Este teorema es parecido al teorema ya visto :

Sea $E$ un $E$-espacio vectorial no reducido a $\{0_E\}$.Si $E$ posee una familia generadora finita, entonces podemos extraer de esta familia una familia generadora y linealmente independiente.

Las ideas de estos teoremas son las siguientes :

  • Uno puede « reducir » una familia generadora para obtener una base.
  • Uno puede « aumentar » una familia linealmente independiente para tener una base.

Vamos a dar un teorema muy importante en relación con las dimensiones.

TeoremaFórmula de Grassmann

Sea $E$ un $E$-espacio vectorial. Sean $F$ y $G$ dos subespacios vectoriales de $E$ de dimensión finita.
Entonces, $\Dim(F+G)=\Dim(F)+\Dim(G)–\Dim(F\bigcap G)$.

  1. Si $F\bigcap G=\{0_E\}$.
    Sea ${(f_i)}_{i=1,\ldots,n}$ es una base de $F$ y ${(g_j)}_{j=1,\ldots,m}$ es una base de “G”.Entonces, $F+G=Vect(\{f_1,\ldots,fn,g_1,\ldots,gm\})$.

    Mostramos que $\{f_1,\ldots,f_n,g_1,\ldots,g_m\}$ es una familia linealmente independiente.
    $\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _if_i+\sum\limits_{i=1}^m\beta _ig_i=0_E\implies \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _if_i=-\sum\limits_{i=1}^{m}\beta _ig_i\in F\bigcap G$. Por lo tanto, $\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _if_i=-\sum\limits_{i=1}^{m}\beta _ig_i=0_E$.
    Se deduce que para $i=1,\ldots,n, \alpha_i=0$ y para $i=1,\ldots,m, \beta_i=0$. Por lo tanto se tiene el resultado.

  2. Si $F\bigcap G\ne \{0_E\}$.
    Sean ${(e_i)}_{i=1,\ldots,n}$ una base de $F\bigcap G$, completada en una base $(e_1,\ldots,e_n,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_q)$de $F$ y $(e_1,\ldots,e_n,\nu_1,\ldots,\nu_p)$ de $G$. Sea $H$ el subespacio vectorial de $E$ de base $(\nu_1,\ldots,\nu_p)$.

    Mostremos que $F\bigcap H=\{0_E\}$ (para utilizar 1-).Sea $u$ elemento de $F\bigcap H$.$\exists (\alpha _i)_{i=1,\ldots,n}\in \K^n \exists (\beta _i)_{i=1,\ldots,q}\in \K^q\vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _ie_i+\sum\limits_{i=1}^{q}\beta _i\varepsilon _i\ (1)$ y $\exists (\gamma _i)_{i=1,\ldots,p}\vert u=\sum\limits_{i=1}^{p}\gamma _i\nu _i\ (2)$.Por lo tanto, $u$ es un elemento de $G$ (como combinación linal de elementos de $G$ por ejemplo) y de $F$. Por lo tanto, $\exists (\lambda _i)_{i=1,\ldots,n}\in \K^n\vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda _ie_i\ (3)$.Al igualar $(1)$ y $(3)$, se deduce : $\sum\limits_{i=1}^{n}(\alpha _i-\lambda _i)e_i+\sum\limits_{i=1}^{q}\beta _i\varepsilon _i=0_E$.Como $(e_1,\ldots,e_n,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_q)$ es una base de $F$ ( por lo tanto linealmente independiente), se tiene : para todo $i=1,\ldots,q,\ \beta_i=0$.$(1)$ se convierte $u=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _ie_i\ (4)$.Al igualar $(4)$ y $(2)$, deducimos : $\sum\limits_{i=1}^{p}\gamma _i\nu _i-\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _ie_i=0_E$.Como $(e_1,\ldots,e_n,\nu_1,\ldots,\nu_p)$ es una base de $G$ (por lo tanto linealmente independiente), se tiene : para todo $i=1,\ldots,n,\ \alpha_i=0$ y para todo $i=1,\ldots,p, \gamma_i=0$. Donc, $u=0_E$. Por lo tanto, $u=0_E$.

    Obtenemos $\Dim(F+H)=\Dim(F)+\Dim(H)$.O, $F+H=F+G$ (familia generadora igual).Por lo que, $\Dim(F+G)=n+q+p=(n+q)+(p+n)-n=\Dim(F)+\Dim(G)–\Dim(F\bigcap G)$.
    De ahí el resultado.

Nota

Podemos poner paralelamente a este teorema el teorema sobre los cardinales (nombre de los elementos de un conjunto) :

Sea $E$ un conjunto. Sean $F$ y $G$ dos subconjuntos de $E$ de cardinalidad finita.
Entonces, $\Card(F\bigcup G)=\Card(F)+\Card(G)–\Card(F\bigcap G)$.

Hemos remarcado que la suma de subespacios vectoriales generaliza la unión de los conjuntos. También podemos notar que la dimensión de un subespacio vectorial coresponde a “al tamaño” del mismo…

Enunciaremos un corolario que sera útil en la práctica. Nos permitirá demostrar si una suma de subespacios vectoriales es o no directa.

Corolario

Sea $E$ un $E$-espace vectorial de dimensión finita.Sean $F$ y $G$ dos subespacios vectoriales de $E$. Las siguientes propiedades son equivalentes :

  1. $E=F\oplus G$.
  2. $E=F+G$ et $\Dim(E)=\Dim(F)+\Dim(G)$.
  3. $F\bigcap G=\{0_E\}$ et $\Dim(E)=\Dim(F)+\Dim(G)$.
Mostrar que las propiedades 1 y 2 son equivalentes.
  • Supongamos $E=F\oplus G$. Por lo tanto $E=F+G$ y $F\bigcap G=\{0_E\}$.Aplicando la fórmula de Grasmann : $\Dim(F+G)=\Dim(F)+\Dim(G)–\Dim(F\bigcap G)$.O, $F\bigcap G=\{0_E\}$ y por lo tanto $\Dim(F\bigcap G)=0$.Nosotros obtenemos $\Dim(F+G)=\Dim(F)+\Dim(G)$.La propiedad 2 esta así demostrada.
  • Supongamos $E=F+G$ et $\Dim(E)=\Dim(F)+\Dim(G)$. Para obtener la propiedad 1, es suficiente mostrar que $F\bigcap G=\{0_E\}$.Apliquemos la fórmula de Grasmann : $\Dim(F+G)=\Dim(F)+\Dim(G)–\Dim(F\bigcap G)$.Nosotros deducimos $\Dim(F\bigcap G)=0$ et donc $F\bigcap G=\{0_E\}$.Hemos demostrado la equivalencia entre las propiedades 1 y 2.La demostración de la equivalencia de las propiedades 1 y 3 se obtiene de manera similar (a traves de la fórmula de Grasmann).
De ahí el resultado.
Retomemos dos ejemplos ya vistos; de subespacios vectoriales en suma directa.
Sean $E=\R^3$ considerado como un espacio vectorial con las propiedades usuales.Sea $P$ definida por la ecuación cartesiana $3x+2y+z=0$, es decir $P=\bigl\{(x,y,z)\in \R^3\bigm\vert 3x+2y+z=0\bigr\}$$P$ es un subespacio vectorial de $E$. Y $D$ definido por $\left\{ \begin{matrix} &x&+&y&+&2z&=&0 \\ &x&-&y&-&z&=&0 \\\end{matrix} \right.$, es decir $D=\bigr\{(x,y,z)\in \R^3\bigm\vert x+y+2z=0 \wedge x-y-z=0\bigr\}$.$D$ es un subespacio vectorial de $E$. Hemos demostrado que $P\bigcap D=\left\{0_{\R^3}\right\}$. .Mostrar usando la noción de dimensión que $P\oplus D=\R^3$. De acuerdo con la fórmula de Grasmann, tenemos que $\Dim(P+D)=\Dim(P)+\Dim(D)-\Dim(P\bigcap D)$.O, $\Dim(P)=2$, $\Dim(D)=1$ y $\Dim(P\bigcap D)=0$. Deducimos : $\Dim(P+D)=3$.O, $P+D\subset \R^3$ y $\Dim(\R^3)=3$.Por lo tanto $P+D=\R^3$.Así, $P$ y $D$ son suplementarios.
Sean $\R_2[X]$ considere como un $\R$-espacio vectorial.Sean $F= \R_1[X]$ y $H=\bigl\{P\in \R_2[X]\vert\exists\alpha\in\R,\ P=\alpha X^2\bigr\}$. $F$ y $H$ dos subespacios vectoriales. Hemos demostrado que la suma $F+H$ es directa. Mostremos con ayuda de la noción de dimensión que $F\oplus H=P_2[X]$.De acuerdo con la fórmula de Grasmann, tenemos que $\Dim(F+H)=\Dim(F)+\Dim(H)-\Dim(F\bigcap H)$.O, $F$ tiene base $(1,X)$ por lo tanto $\Dim(F)=2$.$H$ tiene la base $(X^2)$, de donde $\Dim(H)=1$.Hemos demostrado que $F\bigcap H=\left\{0_{P_2[X]}\right\}$ es por lo tanto $\Dim(F\bigcap H)=0$.Nosotros deducimos $\Dim(F+H)=3$.O, $F+H\subset \R_2[X]$ et $\Dim(\R_2[X])=3$. Por lo tanto $F+H = \R_2[X]$.Por lo que, $F$ y $H$ son suplementarios.