ThéoriesNotation exponentielle

Définition

Pour tout réel $\theta$, on pose :\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.\]

Cette écriture est une convention qui sera justifiée ultérieurement. Pour le moment, ne cherchez aucun lien avec l’exponentielle d’un réel. Nous verrons par la suite, en observant certaines règles de calcul, des similitudes pouvant expliquer ce choix.

Notation

Nous savons que tout nombre complexe $z$ non nul, de module $r\gt 0$ et dont $\theta$ est un argument, s’écrit :\[z=r(\cos\theta+i\sin\theta).\]

Compte tenu de la définition ci-dessus, on obtient une nouvelle écriture de $z$, dite écriture exponentielle, qui est : \[z=re^{i\theta}.\]

Dans l’exemple suivant, nous avons les trois écritures possibles d’un nombre complexe non nul : algébrique, trigonométrique et exponentielle.\[1+i=\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}e^{i\pi/4}.\]

A l’aide de cette nouvelle notation, on peut traduire plus facilement certaines propriétés des nombres complexes.

Propriété

Pour tout réels $\theta$,$\theta_1$, $\theta_2$ et pour tout entier naturel $n$ :

  1. $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}$
  2. $\dfrac{e^{i\theta_1}}{e^{i\theta_2}}=e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ ; en particulier $\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$
  3. ${\left(e^{i\theta}\right)}^n=e^{in\theta}$ (avec la convention ${\left(e^{i\theta}\right)}^0=1$).
  1. Propriété n°1
    $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$.
    En développant ce produit, on obtient :\[e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+i(\cos\theta_1\sin\theta_2+\cos\theta_2\sin\theta_1).\]En utilisant les formules d’addition de trigonométrie, on obtient :\[e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\]En revenant à l’écriture exponentielle, on obtient $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}$.
  2. Propriété n°2
    Elle découle de la précédente.
  3. Propriété n°3
    Nous allons utiliser un raisonnement par récurrence.
    On note $R(n)$ la proposition « ${\left({e^{i\theta}}\right)}^n=e^{in\theta}$ », $n$ étant un entier naturel.
    • Nous vérifions que $R(0)$ est vraie.
    • Nous supposons qu’il existe un entier naturel $n$ tel que $R(n)$ soit vraie. On veut alors prouver que $R(n+1)$ est encore vraie.\[{({e^{i\theta}})}^{n+1}={({e^{i\theta}})}^ne^{i\theta}=e^{in\theta}e^{i\theta}=e^{i(n\theta+\theta)}=e^{i(n+1)\theta}\quad\text{(en utilisant la propriété n°1)}\]La propriété est donc héréditaire.
    • Nous en concluons que $R(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

On rappelle que pour tous réels $x$ et $y$, et pour tout entier naturel $n$, on a :

  1. $e^xe^y=e^{x+y}$
  2. $\dfrac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$ ; en particulier $\dfrac{1}{e^y}=e^{-y}$
  3. ${(e^x)}^n=e^{nx}$.

La similitude de ces trois propriétés avec celles que nous venons d’énoncer, permet de comprendre l’utilisation de la notation exponentielle pour les complexes.

Remarque

Pour faire le produit, le quotient de deux complexes non nuls, l’élévation d’un complexe à une puissance $n$ (un entier naturel), il est souvent plus simple d’utiliser leurs écritures exponentielles que leur écriture algébrique. Mais pour effectuer des sommes et des différences, il est plus simple d’utiliser la forma algébrique.

Soit $z_1=e^{i\pi/3}$ et $z_2=e^{i\pi/4}$.

  1. Calculer le quotient $Z=\dfrac{z_1}{z_2}$ de deux façons différentes.
  2. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
  1. A l’aide des écritures exponentielles, on obtient :\[Z=\frac{e^{i\pi/3}}{e^{i\pi/4}}=e^{i(\pi/3-\pi/4)}=e^{i\pi/12}.\]A l’aide des écritures algébriques, on obtient :\begin{align*}Z&=\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\&=\left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)+i\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right).\end{align*}
  2. En comparant ces deux écritures, on obtient :\[\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\quad\text{et}\quad\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.\]